Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €10 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 1 % per jaar. Het vereiste rendement is 6 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €10 000g = 1%r = 6%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €20 000 tegen 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €275 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €20 000A = €2753,6% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €60 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €27 000, €14 000, €19 000, €25 000. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost vandaag €100 000. De kasstroom is €14 000 aan het eind van jaar 1 en groeit met 4 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 8. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €100 000CF1 = €14 000g = 4%n = 8r = 12%
NPV = €
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 9 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 359 als het effectieve rendement 2,5% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 9P = €1 359YTM = 2,5%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 7% loopt over 5 jaar af en wordt verkocht voor €1 085. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 7%n = 5P = €1 085
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €10 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 500 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van de preferente aandelen 6,5% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4%. Het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,1 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,25. Ze wil die verhouding verhogen tot 1,25. Het belastingtarief is 21%, de risicovrije rente 3,5% en de marktrisicopremie 5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 50, 10, 30, 18, 34, 32, 34.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 75. Welk deel P van de waarden ligt onder 350?
μ = 500σ = 75x = 350
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,1, 0,15, 0,35, 0,2
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 6 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,6. Wat is de kans P op precies 5 goede antwoorden?
n = 6p = 0,6k = 5
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 4 g; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 500 g en standaardafwijking 9 g. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 764,8 g. Rond z af op twee decimalen.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 764,8 g
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Bereken de waarde x waaronder 5% ervan ligt (het 5e percentiel).
μ = 500σ = 40P = 5%
x = h
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 12 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 3,1 en standaardafwijking 5,6. Bereken de foutmarge E van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 12d̄ = 3,1sd = 5,690%t(11) = 1,796
E = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 34. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 5 heeft?
Een steekproef van 36 studenten heeft een gemiddelde score van 194,8 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.
In een onderzoek herstellen 53 van de 150 patiënten met behandeling A en 50 van de 120 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 53n₁ = 150x₂ = 50n₂ = 120
z =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 2.
n = 5x = 2
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 200000 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,003/275 = 0,7818
Los op met logaritmen
N = −ln(0,7818)/ln(1,003) = 82,17
Rond naar boven af op hele betalingen
82 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 83
Antwoord
N = 83 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 10461 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 27 000/1,08 = 25 000,00
CF2/(1 + 0,08)2 = 14 000/1,166 = 12 002,74
CF3/(1 + 0,08)3 = 19 000/1,26 = 15 082,81
CF4/(1 + 0,08)4 = 25 000/1,36 = 18 375,75
Optellen
NPV = €10 461,30
Antwoord
NPV = €10 461,30
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −21730 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 7,004 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,025)−9 = €800,73
Coupon
C = (1359 − 800,73)/7,971 = €70,04
Couponrente
c = 70,04/1000 = 7,004%
Antwoord
c = 7,004%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 5,035 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 085 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Los numeriek op
P(5%) = €1 086,59, P(6%) = €1 042,12
YTM = 5,035%
Antwoord
YTM = 5,035%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,261 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1,1/(1 + 0,79·0,25) = 0,9186
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 0,9186·(1 + 0,79·1,25) = 1,826
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3,5% + 1,826·5% = 12,63%
Antwoord
re = 12,63%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 12,78
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −2
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Antwoord
P = 0,02275
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,41
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binomiale formule
P(X = 5) = 6·0,65·0,41 = 6·0,07776·0,4 = 0,1866
Antwoord
P = 0,1866
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,06681
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standaardiseren
z = (764,8 − 750)/9,849 = 1,5
Rechterstaart
P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681
Antwoord
P = 0,06681
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 434,2 h
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Terug naar x
x = 500 + −1,645·40 = 434,2 h
Antwoord
x = 434,2 h
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 2,903 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 11, t = 1,796
Foutmarge
E = 1,796·5,6/√12 = 2,903
Antwoord
E = 2,903 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 178
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,96·34/5)² = 177,6
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 178
Antwoord
n = 178
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −2,6
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
Toetsingsgrootheid
t = (194,8 − 200)/2 = −2,6
Antwoord
t = −2,6
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = −1,065
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Steekproeffracties
p̂₁ = 53/150 = 0,3533
p̂₂ = 50/120 = 0,4167
p̂ = 103/270 = 0,3815
Standaardfout onder H₀
SE = √(0,3815·0,6185·(1/150 + 1/120)) = 0,05949
Toetsingsgrootheid
z = (0,3533 − 0,4167)/0,05949 = −1,065
Antwoord
z = −1,065
|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9609
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 573/5 = 114,6
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 546
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3447
Determinatiecoëfficiënt
r² = 546²/(90·3447) = 0,9609
Antwoord
r² = 0,9609
Ongeveer 96,09% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 33,8
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 211/5 = 42,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112
Regressielijn
b = 112/40 = 2,8
a = 42,2 − 2,8·5 = 28,2
ŷ = 28,2 + 2,8·x
Voorspelling
ŷ = 28,2 + 2,8·2 = 33,8
Antwoord
ŷ = 33,8
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.