Je belegt €8 000 tegen een nominale rente van 6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 7 jaar.
PV = €8 0006% / 4n = 7
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je stort 30 jaar lang aan het begin van elk jaar €5 000, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 5 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 30 op de rekening? Bereken FV.
A = €5 000i = 5%n = 30
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €6 000, €9 000, €10 000, €9 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €14 500, €18 000, €10 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 14 500CF2 = 18 000CF3 = 10 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 7 jaar af. Het effectieve rendement is 7% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 7%n = 7
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 12 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 7%) wordt verkocht voor €1 129. De uitgever kan haar over 5 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 070. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 7%P = €1 129aflossingsprijs = €1 070vervroegd aflosbaar over 5 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 1,4 heeft een vereist rendement van 11,6%. De risicovrije rente is 2,5%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 1,4re = 11,6%rf = 2,5%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €8 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 12%. Het vreemd vermogen bestaat uit 5 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 6%, resterende looptijd 4 jaar) die elk op €1 054 noteren. Het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Welk deel ligt tussen 178 en 185 cm? Geef P als decimaal getal.
μ = 178σ = 7x1 = 178x2 = 185
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,05 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,05 mm, σ = 0,01 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 13 items heeft gemiddelde 37,5 en standaardafwijking s = 11. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 13x̄ = 37,5s = 1190%t(12) = 1,782
E =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 28. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 250 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 20. Een aselecte steekproef van 100 waarnemingen heeft een gemiddelde van 247,04. Toets H₀: μ = 250 tegen H₁: μ < 250. Bereken de p-waarde p.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft? De standaardafwijking is 5. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 5E = 0,590%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 7?
n = 5ŷ = 7
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 12138 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Gewone annuïteitsfactor
((1 + 0,05)30 − 1)/0,05 = 66,44
Prenumerando annuïteit
Elke storting staat een jaar langer uit.
FV = 5 000·66,44·1,05 = €348 803,95
Antwoord
FV = €348 803,95
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 7177 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 6 000/1,09 = 5 504,59
CF2/(1 + 0,09)2 = 9 000/1,188 = 7 575,12
CF3/(1 + 0,09)3 = 10 000/1,295 = 7 721,83
CF4/(1 + 0,09)4 = 9 000/1,412 = 6 375,83
Optellen
NPV = €7 177,37
Antwoord
NPV = €7 177,37
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 34 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(30%) = 1 356,40
NPV(35%) = −318,29
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, i = 0,035, N = 14
Contante waarde van de coupons
€15,00·(1 − 0,6178)/0,035 = €163,81
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,6178 = €617,78
Koers
P = €781,59
Antwoord
P = €781,59
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTC = 5,259 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1129 = 70·(1 − (1 + y)−5)/y + 1070/(1 + y)5
Los numeriek op
y = 5%: €1 141,44
y = 6%: €1 094,43
YTC = 5,259%
Antwoord
YTC = 5,259%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 5,503%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 9 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (11,6% − 2,5%)/1,4 = 6,5%
Marktrendement
rm = 2,5% + 6,5% = 9%
Antwoord
rm = 9%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,645 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 2
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Antwoord
P = 0,9772
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,3571
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Eerste en tweede trekking
P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0,3571
Antwoord
P = 0,3571
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 13,04
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (178 − 178)/7 = 0
z₂ = (185 − 178)/7 = 1
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1) − Φ(0) = 0,8413 − 0,5 = 0,3413
Antwoord
P = 0,3413
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,9875
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24
Kansrekening
P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875
Antwoord
P = 0,9875
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 5,437
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 12, t = 1,782
Foutmarge
E = 1,782·11/√13 = 5,437
Antwoord
E = 5,437
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 2122
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·28/1)² = 2122
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 2122
Antwoord
n = 2122
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,06944
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 20/√100 = 2
z = (247,04 − 250)/2 = −1,48
Staartoppervlakte
Φ(1,48) = 0,9306
1 − Φ(1,48) = 0,0694
p-waarde
p = 0,06944
Antwoord
p = 0,06944
p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 271
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,645·5/0,5)² = 270,6
Naar boven afronden
n = 271
Antwoord
n = 271
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9888
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 455/6 = 75,83
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 375
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2055
Correlatiecoëfficiënt
r = 375/√(70·2055) = 0,9888
Antwoord
r = 0,9888
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 2,917
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 72/5 = 14,4
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96
Regressielijn
b = 96/40 = 2,4
a = 14,4 − 2,4·6 = 0
ŷ = 0 + 2,4·x
Los op naar x
x = (7 − 0)/2,4 = 2,917
Antwoord
x = 2,917
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.