Je belegt €20 000 tegen 4 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 2 jaar.
PV = €20 000r = 4%t = 2
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €25 000 wordt in 5 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €25 0003% / 12N = 60
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €60 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €16 000, €17 000, €25 000, €12 000. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een investering van €40 000 levert 4 jaar lang aan het eind van elk jaar €15 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €40 000CF = €15 500n = 4
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 4 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €932 als het effectieve rendement 7% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 4P = €932YTM = 7%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 7 jaar af en wordt verkocht voor €1 095. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 7P = €1 095
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 0,6 heeft een vereist rendement van 6,5%. De risicovrije rente is 3,5%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 0,6re = 6,5%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €46,00 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €1 020 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 0,6, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 9%. Bereken de WACC.
β = 0,6rf = 2%rm = 9%rd = 4,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 29, 14, 38, 60, 28, 19, 22.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 40. Bereken de z-score z van een score van 420.
μ = 500σ = 40x = 420
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,25, 0,1, 0,3
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €10 inzet. Je wint €30 met kans 0,2 en €100 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €10€30: p = 0,2€100: p = 0,01
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
De massa's van passagiers met bagage zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 85 kg en standaardafwijking 12 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 8 ervan groter is dan 730,9 kg. Rond z af op twee decimalen.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8> 730,9 kg
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 20% ervan ligt (het 20e percentiel).
μ = 32σ = 6P = 20%
x = min
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 40 telefoons, gemiddelde 90,5 h, bekende standaardafwijking 6 h. Model 2: 100 telefoons, gemiddelde 81,5 h, bekende standaardafwijking 18 h. Bereken de foutmarge E van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
De standaardafwijking van de populatie is 15. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 4 heeft?
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 120 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 5. Een aselecte steekproef van 100 waarnemingen heeft een gemiddelde van 120,44. Toets H₀: μ = 120 tegen H₁: μ ≠ 120. Bereken de p-waarde p.
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 1 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 8. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 6
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 15?
n = 6ŷ = 15
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 21666 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,04·2 = 0,08
e0,08 = 1,083
Eindwaarde
FV = 20 000·1,083 = €21 665,74
Antwoord
FV = €21 665,74
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 449,2 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·5 = 60
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,8609
A = 25 000·0,0025/(1 − 0,8609) = €449,22
Antwoord
A = €449,22
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −1944 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 16 000/1,08 = 14 814,81
CF2/(1 + 0,08)2 = 17 000/1,166 = 14 574,76
CF3/(1 + 0,08)3 = 25 000/1,26 = 19 845,81
CF4/(1 + 0,08)4 = 12 000/1,36 = 8 820,36
Optellen
NPV = €−1 944,26
Antwoord
NPV = €−1 944,26
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 20,17 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−4)/i = 40 000/15 500 = 2,581
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 20%: 2,589
i = 21%: 2,54
IRR = 20,17%
Antwoord
IRR = 20,17%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 4,992 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,07)−4 = €762,90
Coupon
C = (932 − 762,90)/3,387 = €49,92
Couponrente
c = 49,92/1000 = 4,992%
Antwoord
c = 4,992%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 2,504 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 095 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Los numeriek op
P(2%) = €1 129,44, P(3%) = €1 062,30
YTM = 2,504%
Antwoord
YTM = 2,504%
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 8,5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (6,5% − 3,5%)/0,6 = 5%
Marktrendement
rm = 3,5% + 5% = 8,5%
Antwoord
rm = 8,5%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,914 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (420 − 500)/40 = −2
Antwoord
z = −2
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,236
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,1 + 4·0,3 = 2,35
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,1 + 16·0,3 = 7,05
Variantie
Var(X) = 7,05 − 2,35² = 1,528
σ = √1,528 = 1,236
Antwoord
σ = 1,236
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = −3 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 20 (p = 0,2), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,79)
Verwachtingswaarde
E(G) = 20·0,2 + 90·0,01 − 10·0,79 = −3 €
Antwoord
E(G) = −3 €
Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,06681
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het totaal
μT = 680 kg, σT = 12·√8 = 33,94 kg
Standaardiseren
z = (730,9 − 680)/33,94 = 1,5
Kansrekening
P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681
Antwoord
P = 0,06681
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 26,95 min
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Terug naar x
x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min
Antwoord
x = 26,95 min
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 3,347 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 90,5 − 81,5 = 9
Standaardfout
SE = √(6²/40 + 18²/100) = 2,035
Foutmarge
E = 1,645·2,035 = 3,347
Antwoord
E = 3,347 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 94
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·15/4)² = 93,32
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 94
Antwoord
n = 94
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,3789
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 5/√100 = 0,5
z = (120,44 − 120)/0,5 = 0,88
Staartoppervlakte
Φ(0,88) = 0,8106
1 − Φ(0,88) = 0,1894
p-waarde
p = 2·0,1894 = 0,3789
Antwoord
p = 0,3789
p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 643
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((2,326 + 0,842)·8/1)² = 642,3
Naar boven afronden
n = 643
Antwoord
n = 643
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9924
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 97/6 = 16,17
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 157
Syy = Σ(y − ȳ)² = 354,8
Determinatiecoëfficiënt
r² = 157²/(70·354,8) = 0,9924
Antwoord
r² = 0,9924
Ongeveer 99,24% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 4,333
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 104/6 = 17,33
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −49
Regressielijn
b = −49/17,5 = −2,8
a = 17,33 − (−2,8)·3,5 = 27,13
ŷ = 27,13 − 2,8·x
Los op naar x
x = (15 − 27,13)/(−2,8) = 4,333
Antwoord
x = 4,333
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.