Je hebt over 10 jaar €25 000 nodig. Een rekening geeft 4,8 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €25 0004,8% / 4n = 10
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €15 000 tegen 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €475 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €15 000A = €4757,2% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €40 000, gaat 10 jaar mee en kost €3 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €40 000M = €3 000n = 10r = 6%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €18 000, €31 500, €31 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 18 000CF2 = 31 500CF3 = 31 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 14 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 526 als het effectieve rendement 2,5% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 14P = €1 526YTM = 2,5%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 5% loopt over 5 jaar af en wordt verkocht voor €1 070. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 5%n = 5P = €1 070
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €8 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €45,50 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €1 020 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 25%. De bèta van het aandeel is 0,8, de risicovrije rente 2,5% en het marktrendement 8%. Bereken de WACC.
β = 0,8rf = 2,5%rm = 8%rd = 3%T = 25%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 15, 38, 60, 28, 48.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 20. Bereken de z-score z van een score van 130.
μ = 100σ = 20x = 130
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 3 personen kiezen uit een groep van 12? De volgorde doet er niet toe.
n = 12k = 3
N =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €1 inzet. Je wint €3 met kans 0,25 en €50 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €1€3: p = 0,25€50: p = 0,02
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt tussen 30,2 en 43,1 min? Geef P als decimaal getal.
μ = 32σ = 6x1 = 30,2x2 = 43,1
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Bereken de waarde x waaronder 75% ervan ligt (het 75e percentiel).
μ = 500σ = 40P = 75%
x = h
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 25 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 10,6. Wat is de foutmarge E₂ van een 95%-interval gebaseerd op 100 waarnemingen?
99%n₁ = 25E₁ = 10,695%n₂ = 100
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 6 proefvelden, gemiddelde opbrengst 82,5 kg, standaardafwijking 6 kg. Groep 2: 16 proefvelden, gemiddelde 79,5 kg, standaardafwijking 4 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 500 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 40. Een aselecte steekproef van 100 waarnemingen heeft een gemiddelde van 503,44. Toets H₀: μ = 500 tegen H₁: μ ≠ 500. Bereken de p-waarde p.
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 3 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 90 %. De standaardafwijking is 10. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (4, 74) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 5(4, 74)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 15514 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·10 = 40
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,611 = €15 513,85
Antwoord
PV = €15 513,85
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: N = 36 betalingen
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0,006/475 = 0,8105
Los op met logaritmen
N = −ln(0,8105)/ln(1,006) = 35,12
Rond naar boven af op hele betalingen
35 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 36
Antwoord
N = 36 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 8435 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,06−10)/0,06 = 7,36
Aanschafprijs omgerekend per jaar
40 000/7,36 = 5 434,72
EAC
EAC = 5 434,72 + 3 000 = €8 434,72
Antwoord
EAC = €8 434,72
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 25,53 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(25%) = 432,00
NPV(30%) = −3 404,64
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,025)−14 = €707,73
Coupon
C = (1526 − 707,73)/11,69 = €69,99
Couponrente
c = 69,99/1000 = 6,999%
Antwoord
c = 6,999%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 3,452 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 070 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Los numeriek op
P(3%) = €1 091,59, P(4%) = €1 044,52
YTM = 3,452%
Antwoord
YTM = 3,452%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,589 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (130 − 100)/20 = 1,5
Antwoord
z = 1,5
11.Kansrekening
Antwoord: N = 220
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaties
C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220
Antwoord
N = 220
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = 0,75 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 2 (p = 0,25), 49 (p = 0,02), −1 (p = 0,73)
Verwachtingswaarde
E(G) = 2·0,25 + 49·0,02 − 1·0,73 = 0,75 €
Antwoord
E(G) = 0,75 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,5858
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (30,2 − 32)/6 = −0,3
z₂ = (43,1 − 32)/6 = 1,85
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,85) − Φ(−0,3) = 0,9678 − 0,3821 = 0,5858
Antwoord
P = 0,5858
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 527 h
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Terug naar x
x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h
Antwoord
x = 526,98 h
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 4,033
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(25/100) = 0,3804
Nieuwe marge
E₂ = 10,6·0,3804 = 4,033
Antwoord
E₂ = 4,033
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 4,576 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (5·6² + 15·4²)/20 = 21
sp = 4,583
Foutmarge
E = 2,086·4,583·√(1/6 + 1/16) = 4,576
Antwoord
E = 4,576 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,3898
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 40/√100 = 4
z = (503,44 − 500)/4 = 0,86
Staartoppervlakte
Φ(0,86) = 0,8051
1 − Φ(0,86) = 0,1949
p-waarde
p = 2·0,1949 = 0,3898
Antwoord
p = 0,3898
p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 96
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((1,645 + 1,282)·10/3)² = 95,19
Naar boven afronden
n = 96
Antwoord
n = 96
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9026
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 446/5 = 89,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 318
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1245
Determinatiecoëfficiënt
r² = 318²/(90·1245) = 0,9026
Antwoord
r² = 0,9026
Ongeveer 90,26% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = 1,65
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 451/5 = 90,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 238
Regressielijn
b = 238/40 = 5,95
a = 90,2 − 5,95·7 = 48,55
ŷ = 48,55 + 5,95·x
Voorspelde waarde
ŷ = 48,55 + 5,95·4 = 72,35
Residu
e = 74 − 72,35 = 1,65
Antwoord
e = 1,65
Het punt ligt boven de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.