Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 2 jaar.
PV = €2 0006% / 4n = 2
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €20 000 tegen 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €300 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €20 000A = €3004,8% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €16 000, €29 000, €27 000, €26 000. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €23 500, €13 500, €21 000 op. Kasstromen kunnen worden herbelegd tegen de vermogenskosten van 12 %. Bereken de gemodificeerde interne rentabiliteit MIRR in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 10 jaar af. Het effectieve rendement is 7% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 5%YTM = 7%n = 10
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 7% loopt over 7 jaar af en wordt verkocht voor €1 115. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 7%n = 7P = €1 115
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
E = €5 000 000D = €3 000 000re = 8%rd = 6%T = 28%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €45,00 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €1 020 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 21%. De bèta van het aandeel is 1,5, de risicovrije rente 4% en het marktrendement 10%. Bereken de WACC.
β = 1,5rf = 4%rm = 10%rd = 3%T = 21%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 49, 18, 50, 27, 29.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt onder 130?
μ = 100σ = 20x = 130
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 3 personen kiezen uit een groep van 13? De volgorde doet er niet toe.
n = 13k = 3
N =
12.KansrekeningMoeilijk
X heeft de getoonde verdeling, en Y = −2X − 3. Bepaal de standaardafwijking σY van Y.
X is normaal verdeeld met gemiddelde 120 mm en standaardafwijking 0,3 mm; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 80 mm en standaardafwijking 0,4 mm. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 199,5 mm. Rond z af op twee decimalen.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,5 mm
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 10% ervan ligt (het 10e percentiel).
μ = 65σ = 10P = 10%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 20 items heeft gemiddelde 43,5 en standaardafwijking s = 11,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 20x̄ = 43,5s = 11,599%t(19) = 2,861
bovengrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 33. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?
Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 11 studenten, gemiddelde score 40,5, standaardafwijking 5,5. Groep 2: 5 studenten, gemiddelde score 31,1, standaardafwijking 6. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).
In een onderzoek herstellen 84 van de 120 patiënten met behandeling A en 94 van de 120 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 84n₁ = 120x₂ = 94n₂ = 120
z =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (19,5, 51) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 5(19,5, 51)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 2253 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = r/m = 0,06/4 = 0,015
N = m·n = 4·2 = 8
Eindwaarde
FV = 2 000·(1 + 0,015)8 = 2 000·1,126 = €2 252,99
Antwoord
FV = €2 252,99
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: N = 78 betalingen
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,004/300 = 0,7333
Los op met logaritmen
N = −ln(0,7333)/ln(1,004) = 77,69
Rond naar boven af op hele betalingen
77 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 78
Antwoord
N = 78 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 1556 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 16 000/1,1 = 14 545,45
CF2/(1 + 0,1)2 = 29 000/1,21 = 23 966,94
CF3/(1 + 0,1)3 = 27 000/1,331 = 20 285,50
CF4/(1 + 0,1)4 = 26 000/1,464 = 17 758,35
Optellen
NPV = €1 556,25
Antwoord
NPV = €1 556,25
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: MIRR = 17,93 %
Gemodificeerde IRR: rent elke inkomende kasstroom op tot het eind van het project tegen het herbeleggingspercentage (meestal de vermogenskosten) om de eindwaarde TV te krijgen. De MIRR is de rente die de initiële investering laat groeien tot TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Eindwaarde van de inkomende kasstromen
23 500·1,122 = 29 478,40
13 500·1,121 = 15 120,00
21 000·1,120 = 21 000,00
TV = 65 598,40
MIRR
MIRR = (65 598,40/40 000)1/3 − 1 = 17,93%
Antwoord
MIRR = 17,93%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 857,9 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €25,00, i = 0,035, N = 20
Contante waarde van de coupons
€25,00·(1 − 0,5026)/0,035 = €355,31
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,5026 = €502,57
Koers
P = €857,88
Antwoord
P = €857,88
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 5,012 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 115 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Los numeriek op
P(5%) = €1 115,73, P(6%) = €1 055,82
YTM = 5,012%
Antwoord
YTM = 5,012%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,62 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·8% + 0,375·6%·(1 − 0,28) = 6,62%
Antwoord
WACC = 6,62%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 11,37 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 2 500 000·€45,00 = €112 500 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 4% + 1,5·6% = 13%
Gewichten
V = €132 900 000, E/V = 0,8465, D/V = 0,1535
WACC
WACC = 0,8465·13% + 0,1535·3%·(1 − 0,21) = 11,37%
Antwoord
WACC = 11,37%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 14,22
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
11.Kansrekening
Antwoord: N = 286
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaties
C(13, 3) = (13·12·11)/(3·2·1) = 286
Antwoord
N = 286
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 2,2
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standaardiseren
z = (199,5 − 200)/0,5 = −1
Rechterstaart
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 52,18 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Terug naar x
x = 65 + −1,282·10 = 52,18 punten
Antwoord
x = 52,18 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 50,86
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 19, t = 2,861
Foutmarge
E = 2,861·11,5/√20 = 7,357
Interval
43,5 ± 7,357 → [36,14, 50,86]
Antwoord
bovengrens = 50,86
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 7227
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·33/1)² = 7226
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 7227
Antwoord
n = 7227
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 3,086
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolde variantie
sp² = (10·5,5² + 4·6²)/14 = 31,89
sp = 5,647
Standaardfout
SE = 5,647·√(1/11 + 1/5) = 3,046
Toetsingsgrootheid
t = (40,5 − 31,1)/3,046 = 3,086
Antwoord
t = 3,086
Bij df = 14 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,145; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = −1,475
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Steekproeffracties
p̂₁ = 84/120 = 0,7
p̂₂ = 94/120 = 0,7833
p̂ = 178/240 = 0,7417
Standaardfout onder H₀
SE = √(0,7417·0,2583·(1/120 + 1/120)) = 0,05651
Toetsingsgrootheid
z = (0,7 − 0,7833)/0,05651 = −1,475
Antwoord
z = −1,475
|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9879
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 18624 − 147·726/6 = 837
Sxx = 3759 − 147²/6 = 157,5
Syy = 92404 − 726²/6 = 4558
Correlatiecoëfficiënt
r = 837/√(157,5·4558) = 0,9879
Antwoord
r = 0,9879
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −1,9
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 353/5 = 70,6
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 354
Regressielijn
b = 354/90 = 3,933
a = 70,6 − 3,933·24 = −23,8
ŷ = −23,8 + 3,933·x
Voorspelde waarde
ŷ = −23,8 + 3,933·19,5 = 52,9
Residu
e = 51 − 52,9 = −1,9
Antwoord
e = −1,9
Het punt ligt onder de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.