Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 3 jaar.
PV = €2 0003,6% / 12n = 3
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 10 jaar lang aan het eind van elke maand €200. De rekening geeft 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €2007,2% / 12N = 120
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €30 000 en levert 5 jaar lang aan het eind van elk jaar €10 500 op. De vermogenskosten zijn 10 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €4 500, €5 500, €5 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 4 500CF2 = 5 500CF3 = 5 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Het effectieve rendement is 2,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 2,5%n = 11
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement is 5%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 4%n = 5YTM = 5%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €8 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 13%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €8,50 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €1 020 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 25%. De bèta van het aandeel is 0,9, de risicovrije rente 4% en het marktrendement 9,5%. Bereken de WACC.
β = 0,9rf = 4%rm = 9,5%rd = 3%T = 25%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 17, 40, 47, 23, 27, 39.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 20. Bereken de z-score z van een score van 30.
μ = 60σ = 20x = 30
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,35
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 9 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,6. Wat is de kans P op precies 5 goede antwoorden?
n = 9p = 0,6k = 5
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 120 mm en standaardafwijking 0,3 mm; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 80 mm en standaardafwijking 0,4 mm. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 199,8 mm. Rond z af op twee decimalen.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,8 mm
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Bereken de waarde x waaronder 80% ervan ligt (het 80e percentiel).
μ = 500σ = 40P = 80%
x = h
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 7 items heeft gemiddelde 16 en standaardafwijking s = 2. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 7x̄ = 16s = 295%t(6) = 2,447
E =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 24. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft?
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 250 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 12,5. Een aselecte steekproef van 25 waarnemingen heeft een gemiddelde van 246,95. Toets H₀: μ = 250 tegen H₁: μ < 250. Bereken de p-waarde p.
In een onderzoek herstellen 163 van de 250 patiënten met behandeling A en 85 van de 120 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 163n₁ = 250x₂ = 85n₂ = 120
z =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 9.
n = 6x = 9
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 2228 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 10 500/1,1 = 9 545,45 → Σ = 9 545,45
jaar 2: 10 500/1,21 = 8 677,69 → Σ = 18 223,14
jaar 3: 10 500/1,331 = 7 888,81 → Σ = 26 111,95
jaar 4: 10 500/1,464 = 7 171,64 → Σ = 33 283,59
Fractie van het laatste jaar
DPB = 3 + 3 888,05/7 171,64 = 3,542
Antwoord
DPB = 3,542 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (2,857 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 22,88 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(20%) = 462,96
NPV(25%) = −320,00
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 20 + 5·462,96/(462,96 − (−320,00)) = 22,96%
exact: NPV(22,88%) = 0 → IRR = 22,88%
Antwoord
IRR = 22,88%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1335 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €30,00, i = 0,0125, N = 22
Contante waarde van de coupons
€30,00·(1 − 0,7609)/0,0125 = €573,92
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,7609 = €760,87
Koers
P = €1 334,78
Antwoord
P = €1 334,78
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: D = 4,62 jaar
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 40/1,05 = 38,10, t·PV = 38,10
t = 2: 40/1,103 = 36,28, t·PV = 72,56
t = 3: 40/1,158 = 34,55, t·PV = 103,66
t = 4: 40/1,216 = 32,91, t·PV = 131,63
t = 5: 1040/1,276 = 814,87, t·PV = 4 074,34
Duration
P = 956,71
D = 4 420,29/956,71 = 4,62
Antwoord
D = 4,62 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 10,1 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €11 000 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727
WACC
WACC = 0,7273·13% + 0,2727·3%·(1 − 0,21) = 10,1%
Antwoord
WACC = 10,1%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,295 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (30 − 60)/20 = −1,5
Antwoord
z = −1,5
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,187
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,25 + 4·0,35 = 2,7
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,25 + 16·0,35 = 8,7
Variantie
Var(X) = 8,7 − 2,7² = 1,41
σ = √1,41 = 1,187
Antwoord
σ = 1,187
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,2508
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standaardiseren
z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4
Rechterstaart
P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554
Antwoord
P = 0,6554
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 533,7 h
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Terug naar x
x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h
Antwoord
x = 533,66 h
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 1,85
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 6, t = 2,447
Foutmarge
E = 2,447·2/√7 = 1,85
Antwoord
E = 1,85
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 984
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,96·24/1,5)² = 983,4
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 984
Antwoord
n = 984
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,1112
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 12,5/√25 = 2,5
z = (246,95 − 250)/2,5 = −1,22
Staartoppervlakte
Φ(1,22) = 0,8888
1 − Φ(1,22) = 0,1112
p-waarde
p = 0,1112
Antwoord
p = 0,1112
p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = −1,079
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Steekproeffracties
p̂₁ = 163/250 = 0,652
p̂₂ = 85/120 = 0,7083
p̂ = 248/370 = 0,6703
Standaardfout onder H₀
SE = √(0,6703·0,3297·(1/250 + 1/120)) = 0,05221
Toetsingsgrootheid
z = (0,652 − 0,7083)/0,05221 = −1,079
Antwoord
z = −1,079
|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9756
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 10186 − 138·432/6 = 250
Sxx = 3244 − 138²/6 = 70
Syy = 32042 − 432²/6 = 938
Correlatiecoëfficiënt
r = 250/√(70·938) = 0,9756
Antwoord
r = 0,9756
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 98,28
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.