Een annuïteit betaalt 10 jaar lang aan het eind van elk jaar €8 000. De rente is 5 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.
A = €8 000i = 5%n = 10
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €12 000 wordt in 6 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €12 0005,4% / 12N = 72
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 5 €21 000, €22 000, €21 500, €19 500, €22 000 op. De vermogenskosten zijn 12 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €6 000, €4 000, €7 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 6 000CF2 = 4 000CF3 = 7 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 8% naar 6,5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 7%n = 4y1 = 8%y2 = 6,5%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 5,5%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 7%n = 3YTM = 5,5%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
E = €2 000 000D = €6 000 000re = 8%rd = 3%T = 25%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €36,00 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €1 020 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 1,1, de risicovrije rente 2,5% en het marktrendement 9%. Bereken de WACC.
β = 1,1rf = 2,5%rm = 9%rd = 4,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 54, 10, 25, 33, 10, 58, 54.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 20. Bereken de z-score z van een score van 146.
μ = 170σ = 20x = 146
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,2, 0,35, 0,3
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 11 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,7. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?
n = 11p = 0,7k = 1
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 120 mm en standaardafwijking 0,3 mm; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 80 mm en standaardafwijking 0,4 mm. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 201 mm. Rond z af op twee decimalen.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 201 mm
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Bereken de waarde x waaronder 75% ervan ligt (het 75e percentiel).
μ = 100σ = 15P = 75%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 30 items heeft gemiddelde 114,5 en standaardafwijking s = 7. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 30x̄ = 114,5s = 799%t(29) = 2,756
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 2. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?
Een steekproef van 36 studenten heeft een gemiddelde score van 204,8 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.
In een onderzoek herstellen 50 van de 200 patiënten met behandeling A en 27 van de 250 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 50n₁ = 200x₂ = 27n₂ = 250
z =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5Σx = 30Σy = 107Σx² = 220Σy² = 2775Σxy = 780
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (7, 19) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 5(7, 19)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 61774 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6139)/0,05 = 7,722
Contante waarde
PV = 8 000·7,722 = €61 773,88
Antwoord
PV = €61 773,88
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 195,5 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·6 = 72
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,7238
A = 12 000·0,0045/(1 − 0,7238) = €195,49
Antwoord
A = €195,49
3.NCW & IRR
Antwoord: DPB = 2,896 jaar
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 21 000/1,12 = 18 750,00 → Σ = 18 750,00
jaar 2: 22 000/1,254 = 17 538,27 → Σ = 36 288,27
jaar 3: 21 500/1,405 = 15 303,28 → Σ = 51 591,54
Fractie van het laatste jaar
DPB = 2 + 13 711,73/15 303,28 = 2,896
Antwoord
DPB = 2,896 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (2,326 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 32,72 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(30%) = 395,99
NPV(35%) = −312,45
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 30 + 5·395,99/(395,99 − (−312,45)) = 32,79%
exact: NPV(32,72%) = 0 → IRR = 32,72%
Antwoord
IRR = 32,72%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = 50,25 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 70/1,055 = 66,35, t·PV = 66,35
t = 2: 70/1,113 = 62,89, t·PV = 125,78
t = 3: 1070/1,174 = 911,23, t·PV = 2 733,68
Duration
P = 1 040,47
D = 2 925,81/1 040,47 = 2,812
Antwoord
D = 2,812 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 3,688 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €8 000 000, E/V = 0,25, D/V = 0,75
WACC
WACC = 0,25·8% + 0,75·3%·(1 − 0,25) = 3,688%
Antwoord
WACC = 3,688%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,297 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (146 − 170)/20 = −1,2
Antwoord
z = −1,2
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 1,06
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,15 + 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,3 = 1,8
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,15 + 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,3 = 4,3
Variantie
Var(X) = 4,3 − 1,8² = 1,06
Antwoord
Var(X) = 1,06
12.Kansrekening
Antwoord: P = 4,547 × 10⁻⁵
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standaardiseren
z = (201 − 200)/0,5 = 2
Rechterstaart
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Antwoord
P = 0,02275
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 110,1 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Terug naar x
x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 punten
Antwoord
x = 110,12 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 111
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 29, t = 2,756
Foutmarge
E = 2,756·7/√30 = 3,522
Interval
114,5 ± 3,522 → [111, 118]
Antwoord
ondergrens = 111
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 44
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·2/0,5)² = 43,3
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 44
Antwoord
n = 44
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 2,88
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
Toetsingsgrootheid
t = (204,8 − 200)/1,667 = 2,88
Antwoord
t = 2,88
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = 3,974
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Steekproeffracties
p̂₁ = 50/200 = 0,25
p̂₂ = 27/250 = 0,108
p̂ = 77/450 = 0,1711
Standaardfout onder H₀
SE = √(0,1711·0,8289·(1/200 + 1/250)) = 0,03573
Toetsingsgrootheid
z = (0,25 − 0,108)/0,03573 = 3,974
Antwoord
z = 3,974
|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9906
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 780 − 30·107/5 = 138
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 2775 − 107²/5 = 485,2
Correlatiecoëfficiënt
r = 138/√(40·485,2) = 0,9906
Antwoord
r = 0,9906
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = 5,05
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.