Een annuïteit betaalt 8 jaar lang aan het eind van elk jaar €5 000. De rente is 10 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.
A = €5 000i = 10%n = 8
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €20 000 tegen 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €300 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €20 000A = €3002,4% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €40 000, gaat 5 jaar mee en kost €1 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €40 000M = €1 000n = 5r = 8%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €8 000, €13 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −20 000CF1 = 8 000CF2 = 13 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% en loopt over 13 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 8% naar 9%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 7%n = 13y1 = 8%y2 = 9%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 20 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 5%) wordt verkocht voor €1 213. De uitgever kan haar over 6 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 050. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 5%P = €1 213aflossingsprijs = €1 050vervroegd aflosbaar over 6 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €4 000 000, preferente aandelen ter waarde van €500 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van de preferente aandelen 6% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 5%. Het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 1,2. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,4 aan te houden. Het belastingtarief is 20%, de risicovrije rente 4% en de marktrisicopremie 5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.
βU = 1,2D/E = 0,4T = 20%rf = 4%rm − rf = 5%
re = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 34, 45, 35, 40, 27.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 60. Bereken de z-score z van een score van 524.
μ = 500σ = 60x = 524
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Een zak bevat 8 rode en 4 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?
8 / 4
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 9 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,5. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?
n = 9p = 0,5k = 1
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De massa's van dozen zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 12 kg en standaardafwijking 0,8 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 6 ervan kleiner is dan 71 kg. Rond z af op twee decimalen.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6< 71 kg
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 10% ervan ligt (het 10e percentiel).
μ = 32σ = 6P = 10%
x = min
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 100 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 9,8. Wat is de foutmarge E₂ van een 99%-interval uit dezelfde data?
90%n₁ = 100E₁ = 9,899%
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 11 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 5,5 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 10 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 3,247 en 2,5% boven 20,483.
Een steekproef van 16 studenten heeft een gemiddelde score van 128,7 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.
Een steekproef van 49 metingen heeft gemiddelde 499,4. De standaardafwijking van de populatie is 8. Bereken de ondergrens L van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 499,4σ = 8n = 4999%
L =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 60?
n = 6ŷ = 60
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 26675 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,4665)/0,1 = 5,335
Contante waarde
PV = 5 000·5,335 = €26 674,63
Antwoord
PV = €26 674,63
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: N = 72 betalingen
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,002/300 = 0,8667
Los op met logaritmen
N = −ln(0,8667)/ln(1,002) = 71,62
Rond naar boven af op hele betalingen
71 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 72
Antwoord
N = 72 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 11018 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,08−5)/0,08 = 3,993
Aanschafprijs omgerekend per jaar
40 000/3,993 = 10 018,26
EAC
EAC = 10 018,26 + 1 000 = €11 018,26
Antwoord
EAC = €11 018,26
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 4,558 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(0%) = 1 500,00
NPV(5%) = −136,05
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1213 = 50·(1 − (1 + y)−6)/y + 1050/(1 + y)6
Los numeriek op
y = 1%: €1 278,92
y = 2%: €1 212,44
YTC = 1,991%
Antwoord
YTC = 1,991%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 3,501%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,24 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Bèta met hefboom
βL = 1,2·(1 + 0,8·0,4) = 1,584
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 4% + 1,584·5% = 11,92%
Antwoord
re = 11,92%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 6,76
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (524 − 500)/60 = 0,4
Antwoord
z = 0,4
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,4242
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Eerste en tweede trekking
P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0,4242
Antwoord
P = 0,4242
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,01758
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binomiale formule
P(X = 1) = 9·0,51·0,58 = 9·0,5·0,003906 = 0,01758
Antwoord
P = 0,01758
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,305
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het totaal
μT = 72 kg, σT = 0,8·√6 = 1,96 kg
Standaardiseren
z = (71 − 72)/1,96 = −0,51
Kansrekening
P = Φ(−0,51) = 0,305
Antwoord
P = 0,305
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 24,31 min
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Terug naar x
x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min
Antwoord
x = 24,31 min
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 15,35
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(100/100) = 1,566
Nieuwe marge
E₂ = 9,8·1,566 = 15,35
Antwoord
E₂ = 15,35
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 9,652 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 10·5,5² = 302,5
Grenzen voor σ²
302,5/20,483 = 14,77
302,5/3,247 = 93,16
Grens voor σ
σ = √93,16 = 9,652 µm
Antwoord
σ = 9,652 µm
95%-interval voor σ: [3,843, 9,652] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 2,9
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 12/√16 = 12/4 = 3
Toetsingsgrootheid
t = (128,7 − 120)/3 = 2,9
Antwoord
t = 2,9
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: L = 496,5
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 2,576·8/√49 = 2,944
Intervalgrens
L = 499,4 − 2,944 = 496,5
Antwoord
L = 496,5
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,9839
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 99/6 = 16,5
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 87,5
Correlatiecoëfficiënt
r = −38,5/√(17,5·87,5) = −0,9839
Antwoord
r = −0,9839
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 9,984
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.