Je belegt €5 000 tegen een nominale rente van 2 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 6 jaar.
PV = €5 0002% / 4n = 6
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €25 000 tegen 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €350 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €25 000A = €3507,2% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €400 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €31 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 2 % per jaar. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €400 000CF1 = €31 000g = 2%r = 9%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost vandaag €80 000. De kasstroom is €11 500 aan het eind van jaar 1 en groeit met 2 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 7. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €80 000CF1 = €11 500g = 2%n = 7r = 8%
NPV = €
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4,5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement is 3,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 4,5%YTM = 3,5%n = 5
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €1 015 met een effectief rendement van 6% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 11,5 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 100 basispunten stijgt.
P0 = €1 015y = 6%D = 11,5Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
E = €2 000 000D = €6 000 000re = 8%rd = 7%T = 25%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 2 000 000 aandelen van €13,00 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €1 050 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 1,5, de risicovrije rente 1% en het marktrendement 7,5%. Bereken de WACC.
β = 1,5rf = 1%rm = 7,5%rd = 3%T = 30%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 59, 40, 45, 56, 49, 10, 23.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt onder 152?
μ = 170σ = 12x = 152
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 5 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 5
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €1 inzet. Je wint €2 met kans 0,2 en €10 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €1€2: p = 0,2€10: p = 0,01
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0968 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,0968
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 5% ervan ligt (het 5e percentiel).
μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 11 items heeft gemiddelde 48,5 en standaardafwijking s = 20. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 11x̄ = 48,5s = 2099%t(10) = 3,169
E =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 8 proefvelden, gemiddelde opbrengst 44,5 kg, standaardafwijking 7,5 kg. Groep 2: 14 proefvelden, gemiddelde 52,5 kg, standaardafwijking 1,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Een steekproef van 36 studenten heeft een gemiddelde score van 76,17 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 75.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2,5 heeft? De standaardafwijking is 5. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 5E = 2,599%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3, 51) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 6(3, 51)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 5636 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,006/350 = 0,5714
Los op met logaritmen
N = −ln(0,5714)/ln(1,006) = 93,55
Rond naar boven af op hele betalingen
93 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 94
Antwoord
N = 94 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 42857 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 31 000/(0,09 − 0,02) = 442 857,14
NPV
NPV = 442 857,14 − 400 000 = €42 857,14
Antwoord
NPV = €42 857,14
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −16797 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1046 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €22,50, i = 0,0175, N = 10
Contante waarde van de coupons
€22,50·(1 − 0,8407)/0,0175 = €204,78
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,8407 = €840,73
Koers
P = €1 045,51
Antwoord
P = €1 045,51
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 904,9 €
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 11,5/1,06 = 10,85
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −10,85·(0,01) = −10,85%
P ≈ 1015·(1 − 0,1085) = €904,88
Antwoord
P = €904,88
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,938 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €8 000 000, E/V = 0,25, D/V = 0,75
WACC
WACC = 0,25·8% + 0,75·7%·(1 − 0,25) = 5,938%
Antwoord
WACC = 5,938%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,262 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Antwoord
P = 0,06681
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,5981
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Antwoord
P = 0,5981
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = −0,5 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 1 (p = 0,2), 9 (p = 0,01), −1 (p = 0,79)
Verwachtingswaarde
E(G) = 1·0,2 + 9·0,01 − 1·0,79 = −0,5 €
Antwoord
E(G) = −0,5 €
Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.
13.Normale verdeling
Antwoord: z = 1,3
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,0968 = 0,9032
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,9032 in de tabel en lees z af.
z = 1,30
Antwoord
z = 1,30
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 22,13 min
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Terug naar x
x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min
Antwoord
x = 22,13 min
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 19,11
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Foutmarge
E = 3,169·20/√11 = 19,11
Antwoord
E = 19,11
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 5,799 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (7·7,5² + 13·1,5²)/20 = 21,15
sp = 4,599
Foutmarge
E = 2,845·4,599·√(1/8 + 1/14) = 5,799
Antwoord
E = 5,799 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 0,702
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
Toetsingsgrootheid
t = (76,17 − 75)/1,667 = 0,702
Antwoord
t = 0,702
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 27
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (2,576·5/2,5)² = 26,54
Naar boven afronden
n = 27
Antwoord
n = 27
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9926
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 3668 − 42·478/6 = 322
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 39584 − 478²/6 = 1503
Correlatiecoëfficiënt
r = 322/√(70·1503) = 0,9926
Antwoord
r = 0,9926
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −2,481
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.