Een annuïteit betaalt 4 jaar lang aan het eind van elk jaar €500. De rente is 3 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.
A = €500i = 3%n = 4
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €200 000 wordt in 25 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
P = €200 0005,4% / 12N = 300
I = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 6 €7 000, €8 500, €5 000, €9 000, €9 000, €5 000 op. De vermogenskosten zijn 12 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €21 500, €23 500, €26 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 21 500CF2 = 23 500CF3 = 26 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% en loopt over 9 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 3% naar 1%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 8%n = 9y1 = 3%y2 = 1%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 13 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 8%) wordt verkocht voor €1 177. De uitgever kan haar over 6 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 080. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 8%P = €1 177aflossingsprijs = €1 080vervroegd aflosbaar over 6 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €12 000 000, preferente aandelen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van de preferente aandelen 6% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4%. Het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 000 000 aandelen die noteren op €19,50; de boekwaarde van het eigen vermogen is €15 600 000. Ze heeft net een dividend van €1,50 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 2% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €19 500 000 en kosten vóór belasting van 4,5%. Het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 22, 50, 56, 37, 28.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 10. Bereken de z-score z van een score van 50.
μ = 70σ = 10x = 50
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 8 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 8
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 5 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,1. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?
n = 5p = 0,1k = 3
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Welk deel ligt tussen 175,9 en 190,6 cm? Geef P als decimaal getal.
μ = 178σ = 7x1 = 175,9x2 = 190,6
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 95% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 250 gσ = 5 g95%
x = g
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 8 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 1,4 en standaardafwijking 3,2. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 8d̄ = 1,4sd = 3,299%t(7) = 3,499
ondergrens = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 17. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?
Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 201,7 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.
Een steekproef van 36 metingen heeft gemiddelde 100,4. De standaardafwijking van de populatie is 12. Bereken de bovengrens U van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 100,4σ = 12n = 3690%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 22?
n = 6ŷ = 22
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 1859 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,8885)/0,03 = 3,717
Contante waarde
PV = 500·3,717 = €1 858,55
Antwoord
PV = €1 858,55
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: I = 164878 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 7 000/1,12 = 6 250,00 → Σ = 6 250,00
jaar 2: 8 500/1,254 = 6 776,15 → Σ = 13 026,15
jaar 3: 5 000/1,405 = 3 558,90 → Σ = 16 585,05
jaar 4: 9 000/1,574 = 5 719,66 → Σ = 22 304,71
Fractie van het laatste jaar
DPB = 3 + 3 414,95/5 719,66 = 3,597
Antwoord
DPB = 3,597 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (2,9 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 19,11 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(15%) = 3 560,45
NPV(20%) = −717,59
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1177 = 80·(1 − (1 + y)−6)/y + 1080/(1 + y)6
Los numeriek op
y = 5%: €1 211,97
y = 6%: €1 154,74
YTC = 5,604%
Antwoord
YTC = 5,604%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 6,001%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 9,053 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (50 − 70)/10 = −2
Antwoord
z = −2
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,7674
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Antwoord
P = 0,7674
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,0081
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binomiale formule
P(X = 3) = 10·0,13·0,92 = 10·0,001·0,81 = 0,0081
Antwoord
P = 0,0081
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,582
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (175,9 − 178)/7 = −0,3
z₂ = (190,6 − 178)/7 = 1,8
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,8) − Φ(−0,3) = 0,9641 − 0,3821 = 0,582
Antwoord
P = 0,582
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 258,2 g
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,95
z uit de tabel
z ≈ 1,64
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 250 + 1,64·5 = 258,2 g
Antwoord
x = 258,2 g
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −2,559 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 7, t = 3,499
Foutmarge
E = 3,499·3,2/√8 = 3,959
Interval
1,4 ± 3,959 → [−2,559, 5,359]
Antwoord
ondergrens = −2,559 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 3129
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·17/0,5)² = 3128
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 3129
Antwoord
n = 3129
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 2,38
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143
Toetsingsgrootheid
t = (201,7 − 200)/0,7143 = 2,38
Antwoord
t = 2,38
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 103,7
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,645·12/√36 = 3,29
Intervalgrens
U = 100,4 + 3,29 = 103,7
Antwoord
U = 103,7
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9626
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 9792 − 95·504/5 = 216
Sxx = 1845 − 95²/5 = 40
Syy = 52062 − 504²/5 = 1259
Correlatiecoëfficiënt
r = 216/√(40·1259) = 0,9626
Antwoord
r = 0,9626
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 1,412
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 103/6 = 17,17
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40,5
Regressielijn
b = −40,5/17,5 = −2,314
a = 17,17 − (−2,314)·3,5 = 25,27
ŷ = 25,27 − 2,314·x
Los op naar x
x = (22 − 25,27)/(−2,314) = 1,412
Antwoord
x = 1,412
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.