Je belegt €5 000 tegen 3 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 17 jaar.
PV = €5 000r = 3%t = 17
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je wilt over 19 jaar €50 000 hebben. Je spaart aan het eind van elke maand hetzelfde bedrag op een rekening die 6 % per jaar geeft, maandelijks samengesteld. Bereken de maandelijkse inleg A.
FV = €50 0006% / 12N = 228
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €17 000, €20 000, €16 000. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €14 000, €11 500, €14 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −20 000CF1 = 14 000CF2 = 11 500CF3 = 14 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% en loopt over 15 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 8% naar 7%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 7%n = 15y1 = 8%y2 = 7%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €960 met een effectief rendement van 7% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 5,3 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 25 basispunten daalt.
P0 = €960y = 7%D = 5,3Δy = −25 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 1. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4,5% en het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.
D/E = 1re = 11%rd = 4,5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €28,50 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 0,8, de risicovrije rente 1% en het marktrendement 7,5%. Bereken de WACC.
β = 0,8rf = 1%rm = 7,5%rd = 4,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 27, 46, 29, 57, 32.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 15. Bereken de z-score z van een score van 75.
μ = 60σ = 15x = 75
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 8 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,2. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 8p = 0,2
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Welk deel ligt tussen 49 en 75 punten? Geef P als decimaal getal.
μ = 65σ = 10x1 = 49x2 = 75
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 97,5% ervan ligt (het 97,5e percentiel).
μ = 178σ = 7P = 97,5%
x = cm
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 10 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −9,8 en standaardafwijking 7,8. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 10d̄ = −9,8sd = 7,895%t(9) = 2,262
bovengrens = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 21 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 4,8 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 20 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 9,591 en 2,5% boven 34,17.
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 50 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 12. Een aselecte steekproef van 36 waarnemingen heeft een gemiddelde van 46,8. Toets H₀: μ = 50 tegen H₁: μ < 50. Bereken de p-waarde p.
Een steekproef van 49 metingen heeft gemiddelde 119,7. De standaardafwijking van de populatie is 4. Bereken de ondergrens L van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 119,7σ = 4n = 4995%
L =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5Σx = 30Σy = 91Σx² = 220Σy² = 1867Σxy = 636
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (11, 47) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 6(11, 47)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 8326 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,03·17 = 0,51
e0,51 = 1,665
Eindwaarde
FV = 5 000·1,665 = €8 326,46
Antwoord
FV = €8 326,46
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 118 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 17 000/1,08 = 15 740,74
CF2/(1 + 0,08)2 = 20 000/1,166 = 17 146,78
CF3/(1 + 0,08)3 = 16 000/1,26 = 12 701,32
Optellen
NPV = €588,83
Antwoord
NPV = €588,83
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 43,82 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(40%) = 969,39
NPV(45%) = −282,91
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 40 + 5·969,39/(969,39 − (−282,91)) = 43,87%
exact: NPV(43,82%) = 0 → IRR = 43,82%
Antwoord
IRR = 43,82%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = 85,59 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 5,3/1,07 = 4,953
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −4,953·(−0,0025) = 1,238%
P ≈ 960·(1 + 0,01238) = €971,89
Antwoord
P = €971,89
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,075 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten uit D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·4,5%·(1 − 0,3) = 7,075%
Antwoord
WACC = 7,075%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 4,558 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (75 − 60)/15 = 1
Antwoord
z = 1
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 0,8047
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Variantie
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047
Antwoord
σ = 0,8047
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,5033
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,88 = 0,1678
P(X = 1) = 8·0,2·0,87 = 0,3355
Tel ze op
P = 0,1678 + 0,3355 = 0,5033
Antwoord
P = 0,5033
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7865
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (49 − 65)/10 = −1,6
z₂ = (75 − 65)/10 = 1
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1) − Φ(−1,6) = 0,8413 − 0,0548 = 0,7865
Antwoord
P = 0,7865
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 191,7 cm
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Terug naar x
x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm
Antwoord
x = 191,72 cm
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = −4,221 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 9, t = 2,262
Foutmarge
E = 2,262·7,8/√10 = 5,579
Interval
−9,8 ± 5,579 → [−15,38, −4,221]
Antwoord
bovengrens = −4,221 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 6,931 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 20·4,8² = 460,8
Grenzen voor σ²
460,8/34,17 = 13,49
460,8/9,591 = 48,05
Grens voor σ
σ = √48,05 = 6,931 µm
Antwoord
σ = 6,931 µm
95%-interval voor σ: [3,672, 6,931] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,0548
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 12/√36 = 2
z = (46,8 − 50)/2 = −1,6
Staartoppervlakte
Φ(1,6) = 0,9452
1 − Φ(1,6) = 0,0548
p-waarde
p = 0,0548
Antwoord
p = 0,0548
p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: L = 118,6
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,96·4/√49 = 1,12
Intervalgrens
L = 119,7 − 1,12 = 118,6
Antwoord
L = 118,6
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9801
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 636 − 30·91/5 = 90
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1867 − 91²/5 = 210,8
Correlatiecoëfficiënt
r = 90/√(40·210,8) = 0,9801
Antwoord
r = 0,9801
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = 4,448
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 160/6 = 26,67
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 278
Regressielijn
b = 278/70 = 3,971
a = 26,67 − 3,971·7 = −1,133
ŷ = −1,133 + 3,971·x
Voorspelde waarde
ŷ = −1,133 + 3,971·11 = 42,55
Residu
e = 47 − 42,55 = 4,448
Antwoord
e = 4,448
Het punt ligt boven de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.