Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €8 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 1 % per jaar. Het vereiste rendement is 7 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €8 000g = 1%r = 7%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €200 000 wordt in 25 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 6? Bereken de restschuld B.
P = €200 0006% / 12N = 300k = 72
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €100 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €9 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 3 % per jaar. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €100 000CF1 = €9 000g = 3%r = 10%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €6 500, €4 000, €5 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 4 000CF3 = 5 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 8 jaar af. Het effectieve rendement is 3% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 3%n = 8
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 3% loopt over 8 jaar af en wordt verkocht voor €870. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 3%n = 8P = €870
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €5 000 000, preferente aandelen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van de preferente aandelen 7% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4%. Het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €19,50 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €1 050 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 20%. De bèta van het aandeel is 0,9, de risicovrije rente 1% en het marktrendement 6%. Bereken de WACC.
β = 0,9rf = 1%rm = 6%rd = 4%T = 20%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 38, 37, 42, 23, 53, 35.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 20. Bereken de z-score z van een score van 82.
μ = 70σ = 20x = 82
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 2 personen kiezen uit een groep van 7? De volgorde doet er niet toe.
n = 7k = 2
N =
12.KansrekeningMoeilijk
X heeft de getoonde verdeling, en Y = 0,5X + 1. Bepaal de standaardafwijking σY van Y.
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Welk deel ligt tussen 174,85 en 192 cm? Geef P als decimaal getal.
μ = 178σ = 7x1 = 174,85x2 = 192
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,04 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 8 items heeft gemiddelde 52 en standaardafwijking s = 14. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 8x̄ = 52s = 1490%t(7) = 1,895
bovengrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 10 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 2,5 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 9 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 2,7 en 2,5% boven 19,023.
11 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is −9,14 en de standaardafwijking van de verschillen is 10,1. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.
Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 100 tegen H₁: μ > 100 wordt uitgevoerd bij α = 0,01 met een steekproef van 64; de standaardafwijking is bekend en is 20. In werkelijkheid is het gemiddelde 105,25. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.
μ₀ = 100μ = 105,25σ = 20n = 64α = 0,01
1 − β = %
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 17?
n = 6ŷ = 17
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 133333 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 300 − 72 = 228
B = 1289·(1 − (1 + 0,005)−228)/0,005 = €175 062,16
Antwoord
B = €175 062,16
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 28571 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 9 000/(0,1 − 0,03) = 128 571,43
NPV
NPV = 128 571,43 − 100 000 = €28 571,43
Antwoord
NPV = €28 571,43
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 27,29 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(25%) = 320,00
NPV(30%) = −357,31
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 25 + 5·320,00/(320,00 − (−357,31)) = 27,36%
exact: NPV(27,29%) = 0 → IRR = 27,29%
Antwoord
IRR = 27,29%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1353 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €40,00, i = 0,015, N = 16
Contante waarde van de coupons
€40,00·(1 − 0,788)/0,015 = €565,25
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,788 = €788,03
Koers
P = €1 353,28
Antwoord
P = €1 353,28
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 5,012 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€870 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Los numeriek op
P(5%) = €870,74, P(6%) = €813,71
YTM = 5,012%
Antwoord
YTM = 5,012%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,062 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 2 500 000·€19,50 = €48 750 000
D = 10 000·€1 050 = €10 500 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 1% + 0,9·5% = 5,5%
Gewichten
V = €59 250 000, E/V = 0,8228, D/V = 0,1772
WACC
WACC = 0,8228·5,5% + 0,1772·4%·(1 − 0,2) = 5,092%
Antwoord
WACC = 5,092%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 9,757
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (82 − 70)/20 = 0,6
Antwoord
z = 0,6
11.Kansrekening
Antwoord: N = 21
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaties
C(7, 2) = (7·6)/(2·1) = 21
Antwoord
N = 21
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 0,4815
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (174,85 − 178)/7 = −0,45
z₂ = (192 − 178)/7 = 2
Oppervlakte ertussen
P = Φ(2) − Φ(−0,45) = 0,9772 − 0,3264 = 0,6509
Antwoord
P = 0,6509
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,9633
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633
Antwoord
P = 0,9633
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 61,38
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 7, t = 1,895
Foutmarge
E = 1,895·14/√8 = 9,38
Interval
52 ± 9,38 → [42,62, 61,38]
Antwoord
bovengrens = 61,38
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 1,72 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 9·2,5² = 56,25
Grenzen voor σ²
56,25/19,023 = 2,957
56,25/2,7 = 20,83
Grens voor σ
σ = √2,957 = 1,72 µm
Antwoord
σ = 1,72 µm
95%-interval voor σ: [1,72, 4,564] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −3,001
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standaardfout van het gemiddelde verschil
SE = 10,1/√11 = 3,045
Toetsingsgrootheid
t = −9,14/3,045 = −3,001
Antwoord
t = −3,001
Bij df = 10 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,228; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: 1 − β = 41,06 %
Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritiek steekproefgemiddelde
SE = 20/√64 = 2,5
x̄c = 100 + 2,326·2,5 = 105,8
z onder het ware gemiddelde
z = (105,8 − 105,25)/2,5 = 0,226
Vermogen
onderscheidend vermogen = P(Z > 0,226) = 41,06%
1 − β = 41,06%
Antwoord
1 − β = 41,06%
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9931
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 375/5 = 75
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 282
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2002
Determinatiecoëfficiënt
r² = 282²/(40·2002) = 0,9931
Antwoord
r² = 0,9931
Ongeveer 99,31% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 4,978
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 141/6 = 23,5
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 225
Regressielijn
b = 225/70 = 3,214
a = 23,5 − 3,214·7 = 1
ŷ = 1 + 3,214·x
Los op naar x
x = (17 − 1)/3,214 = 4,978
Antwoord
x = 4,978
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.