Je belegt €2 000 tegen 2 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 12 jaar.
PV = €2 000r = 2%t = 12
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je wilt over 17 jaar €10 000 hebben. Je spaart aan het eind van elke maand hetzelfde bedrag op een rekening die 4,8 % per jaar geeft, maandelijks samengesteld. Bereken de maandelijkse inleg A.
FV = €10 0004,8% / 12N = 204
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €60 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €28 000, €14 000, €19 000, €13 000. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €14 500, €9 000, €9 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 14 500CF2 = 9 000CF3 = 9 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 14 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €689 als het effectieve rendement 9% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 14P = €689YTM = 9%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 6% loopt over 10 jaar af en wordt verkocht voor €895. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 10P = €895
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €4 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De WACC is 8,72%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3% en het belastingtarief is 28%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €6 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 12%. Het vreemd vermogen bestaat uit 2 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 7%, resterende looptijd 10 jaar) die elk op €966 noteren. Het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 27, 43, 56, 36, 12, 31.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt onder 32?
μ = 50σ = 12x = 32
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,25, 0,35, 0,2
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €3 inzet. Je wint €6 met kans 0,15 en €150 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €3€6: p = 0,15€150: p = 0,05
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 244 en 254 g? Geef P als decimaal getal.
μ = 250σ = 5x1 = 244x2 = 254
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 40% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 500 hσ = 40 h40%
x = h
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 7 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −2,8 en standaardafwijking 6,2. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 7d̄ = −2,8sd = 6,290%t(6) = 1,943
ondergrens = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 13. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2,5 heeft?
Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 60 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 139,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 14 mm. Lijn 2: een steekproef van 100 onderdelen heeft gemiddelde 137,5 mm, bekende standaardafwijking 18 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft? De standaardafwijking is 15. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 15E = 199%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 3.
n = 6x = 3
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 2542 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,02·12 = 0,24
e0,24 = 1,271
Eindwaarde
FV = 2 000·1,271 = €2 542,50
Antwoord
FV = €2 542,50
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 31,8 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 28 000/1,08 = 25 925,93
CF2/(1 + 0,08)2 = 14 000/1,166 = 12 002,74
CF3/(1 + 0,08)3 = 19 000/1,26 = 15 082,81
CF4/(1 + 0,08)4 = 13 000/1,36 = 9 555,39
Optellen
NPV = €2 566,87
Antwoord
NPV = €2 566,87
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 15,88 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(15%) = 331,63
NPV(20%) = −1 458,33
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,09)−14 = €299,25
Coupon
C = (689 − 299,25)/7,786 = €50,06
Couponrente
c = 50,06/1000 = 5,006%
Antwoord
c = 5,006%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 7,532 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€895 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Los numeriek op
P(7%) = €929,76, P(8%) = €865,80
YTM = 7,532%
Antwoord
YTM = 7,532%
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 12 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,3333·3%·(1 − 0,28) = 0,72%
Kosten van het eigen vermogen
re = (8,72% − 0,72%)/0,6667 = 12%
Antwoord
re = 12%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 10,39 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Antwoord
P = 0,06681
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 1,047
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,2 + 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,2 = 1,55
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,2 + 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,2 = 3,45
Variantie
Var(X) = 3,45 − 1,55² = 1,047
Antwoord
Var(X) = 1,047
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = 5,4 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 3 (p = 0,15), 147 (p = 0,05), −3 (p = 0,8)
Verwachtingswaarde
E(G) = 3·0,15 + 147·0,05 − 3·0,8 = 5,4 €
Antwoord
E(G) = 5,4 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,6731
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2
z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8
Oppervlakte ertussen
P = Φ(0,8) − Φ(−1,2) = 0,7881 − 0,1151 = 0,6731
Antwoord
P = 0,6731
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 490 h
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,4
z uit de tabel
z ≈ −0,25
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 500 − 0,25·40 = 490 h
Antwoord
x = 490 h
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −7,353 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 6, t = 1,943
Foutmarge
E = 1,943·6,2/√7 = 4,553
Interval
−2,8 ± 4,553 → [−7,353, 1,753]
Antwoord
ondergrens = −7,353 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 180
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·13/2,5)² = 179,4
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 180
Antwoord
n = 180
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = 0,7841
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standaardfout van het verschil
SE = √(14²/60 + 18²/100) = √6,507 = 2,551
Toetsingsgrootheid
z = (139,5 − 137,5)/2,551 = 0,7841
Antwoord
z = 0,7841
|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 1494
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (2,576·15/1)² = 1493
Naar boven afronden
n = 1494
Antwoord
n = 1494
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9633
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 2591 − 36·399/6 = 197
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 27131 − 399²/6 = 597,5
Correlatiecoëfficiënt
r = 197/√(70·597,5) = 0,9633
Antwoord
r = 0,9633
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 16,8
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 191/6 = 31,83
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 263
Regressielijn
b = 263/70 = 3,757
a = 31,83 − 3,757·7 = 5,533
ŷ = 5,533 + 3,757·x
Voorspelling
ŷ = 5,533 + 3,757·3 = 16,8
Antwoord
ŷ = 16,8
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.