Een annuïteit betaalt 11 jaar lang aan het eind van elk jaar €5 000. De rente is 3 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.
A = €5 000i = 3%n = 11
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je wilt over 19 jaar €100 000 hebben. Je spaart aan het eind van elke maand hetzelfde bedrag op een rekening die 5,4 % per jaar geeft, maandelijks samengesteld. Bereken de maandelijkse inleg A.
FV = €100 0005,4% / 12N = 228
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 6 €5 500, €8 000, €8 500, €6 000, €7 000, €8 000 op. De vermogenskosten zijn 6 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een investering van €25 000 levert 7 jaar lang aan het eind van elk jaar €7 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €25 000CF = €7 000n = 7
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement is 9% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 2%YTM = 9%n = 5
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €1 060 met een effectief rendement van 3% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 4,9 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 100 basispunten daalt.
P0 = €1 060y = 3%D = 4,9Δy = −100 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 1,4 heeft een vereist rendement van 12,1%. De risicovrije rente is 3%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 1,4re = 12,1%rf = 3%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 1,2. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 1,5 aan te houden. Het belastingtarief is 30%, de risicovrije rente 2% en de marktrisicopremie 7%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.
βU = 1,2D/E = 1,5T = 30%rf = 2%rm − rf = 7%
re = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 42, 32, 15, 55, 36.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt boven 60?
μ = 70σ = 5x = 60
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Een zak bevat 6 rode en 5 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?
6 / 5
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €1 inzet. Je wint €3 met kans 0,3 en €20 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €1€3: p = 0,3€20: p = 0,02
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 12 min en standaardafwijking 1,5 min; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 20 min en standaardafwijking 2 min. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 37 min. Rond z af op twee decimalen.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 37 min
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,02 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 30 items heeft gemiddelde 79,5 en standaardafwijking s = 12. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 30x̄ = 79,5s = 1295%t(29) = 2,045
bovengrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 18 proefvelden, gemiddelde opbrengst 11 kg, standaardafwijking 1 kg. Groep 2: 8 proefvelden, gemiddelde 2,5 kg, standaardafwijking 4,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 498,6 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 500.
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 1,5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 8. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (1,5, 51) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 5(1,5, 51)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 46263 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7224)/0,03 = 9,253
Contante waarde
PV = 5 000·9,253 = €46 263,12
Antwoord
PV = €46 263,12
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 252,3 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 5 500/1,06 = 5 188,68 → Σ = 5 188,68
jaar 2: 8 000/1,124 = 7 119,97 → Σ = 12 308,65
jaar 3: 8 500/1,191 = 7 136,76 → Σ = 19 445,41
jaar 4: 6 000/1,262 = 4 752,56 → Σ = 24 197,98
Fractie van het laatste jaar
DPB = 3 + 554,59/4 752,56 = 3,117
Antwoord
DPB = 3,117 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (2,765 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 20,34 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−7)/i = 25 000/7 000 = 3,571
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 20%: 3,605
i = 21%: 3,508
IRR = 20,34%
Antwoord
IRR = 20,34%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 723,1 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €10,00, i = 0,045, N = 10
Contante waarde van de coupons
€10,00·(1 − 0,6439)/0,045 = €79,13
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,6439 = €643,93
Koers
P = €723,05
Antwoord
P = €723,05
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1110 €
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 4,9/1,03 = 4,757
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −4,757·(−0,01) = 4,757%
P ≈ 1060·(1 + 0,04757) = €1 110,43
Antwoord
P = €1 110,43
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 9,5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (12,1% − 3%)/1,4 = 6,5%
Marktrendement
rm = 3% + 6,5% = 9,5%
Antwoord
rm = 9,5%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 19,22 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Bèta met hefboom
βL = 1,2·(1 + 0,7·1,5) = 2,46
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2% + 2,46·7% = 19,22%
Antwoord
re = 19,22%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 14,61
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Gemiddelde
x̄ = 180/5 = 36
Gekwadrateerde afwijkingen
Σ(x − x̄)² = 6² + (−4)² + (−21)² + 19² + 0² = 854
Standaardafwijking
s = √(854/4) = 14,61
Antwoord
s = 14,61
10.Beschrijvende statistiek
Antwoord: P = 0,9772
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −2
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Antwoord
P = 0,9772
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,2727
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Eerste en tweede trekking
P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 0,2727
Antwoord
P = 0,2727
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = 0,3 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 2 (p = 0,3), 19 (p = 0,02), −1 (p = 0,68)
Verwachtingswaarde
E(G) = 2·0,3 + 19·0,02 − 1·0,68 = 0,3 €
Antwoord
E(G) = 0,3 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,02275
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standaardiseren
z = (37 − 32)/2,5 = 2
Rechterstaart
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Antwoord
P = 0,02275
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8264
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02121 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,02)/0,02121 = −0,94
Kansrekening
P = 1 − Φ(−0,94) = 0,8264
Antwoord
P = 0,8264
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 83,98
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 29, t = 2,045
Foutmarge
E = 2,045·12/√30 = 4,48
Interval
79,5 ± 4,48 → [75,02, 83,98]
Antwoord
bovengrens = 83,98
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 11,56 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (17·1² + 7·4,5²)/24 = 6,615
sp = 2,572
Foutmarge
E = 2,797·2,572·√(1/18 + 1/8) = 3,057
Interval
8,5 ± 3,057 → [5,443, 11,56]
Antwoord
bovengrens = 11,56 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −2,24
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625
Toetsingsgrootheid
t = (498,6 − 500)/0,625 = −2,24
Antwoord
t = −2,24
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 286
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((2,326 + 0,842)·8/1,5)² = 285,5
Naar boven afronden
n = 286
Antwoord
n = 286
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,9481
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 113/6 = 18,83
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 114,8
Correlatiecoëfficiënt
r = −42,5/√(17,5·114,8) = −0,9481
Antwoord
r = −0,9481
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −3,05
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 310/5 = 62
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53
Regressielijn
b = 53/10 = 5,3
a = 62 − 5,3·3 = 46,1
ŷ = 46,1 + 5,3·x
Voorspelde waarde
ŷ = 46,1 + 5,3·1,5 = 54,05
Residu
e = 51 − 54,05 = −3,05
Antwoord
e = −3,05
Het punt ligt onder de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.