Je belegt €3 000 tegen een nominale rente van 4,8 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 5 jaar.
PV = €3 0004,8% / 4n = 5
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je stort 6 jaar lang aan het begin van elk jaar €6 000, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 3 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 6 op de rekening? Bereken FV.
A = €6 000i = 3%n = 6
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €30 000, gaat 7 jaar mee en kost €3 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €30 000M = €3 000n = 7r = 12%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €23 000, €32 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 23 000CF2 = 32 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 9 jaar af. Het effectieve rendement is 9% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 9%n = 9
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 6% loopt over 5 jaar af en wordt verkocht voor €960. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 5P = €960
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €12 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van de preferente aandelen 6% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 5%. Het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €51,50 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 21%. De bèta van het aandeel is 0,6, de risicovrije rente 1,5% en het marktrendement 7%. Bereken de WACC.
β = 0,6rf = 1,5%rm = 7%rd = 5%T = 21%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 13, 49, 27, 20, 58, 32.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 15. Bereken de z-score z van een score van 122,5.
μ = 100σ = 15x = 122,5
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,3, 0,25, 0,35
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 7 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,4. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 7p = 0,4
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Welk deel ligt tussen 175,9 en 188,85 cm? Geef P als decimaal getal.
μ = 178σ = 7x1 = 175,9x2 = 188,85
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 25% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 500 hσ = 40 h25%
x = h
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 9 items heeft gemiddelde 18 en standaardafwijking s = 5,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 9x̄ = 18s = 5,599%t(8) = 3,355
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 29. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft?
Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 196,9 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.
Een steekproef van 25 metingen heeft gemiddelde 57. De standaardafwijking van de populatie is 12. Bereken de bovengrens U van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 57σ = 12n = 2599%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 6
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 4,5.
n = 5x = 4,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 3808 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Gewone annuïteitsfactor
((1 + 0,03)6 − 1)/0,03 = 6,468
Prenumerando annuïteit
Elke storting staat een jaar langer uit.
FV = 6 000·6,468·1,03 = €39 974,77
Antwoord
FV = €39 974,77
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 9574 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,12−7)/0,12 = 4,564
Aanschafprijs omgerekend per jaar
30 000/4,564 = 6 573,53
EAC
EAC = 6 573,53 + 3 000 = €9 573,53
Antwoord
EAC = €9 573,53
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 6,839 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(5%) = 1 383,22
NPV(10%) = −2 231,40
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, i = 0,045, N = 18
Contante waarde van de coupons
€15,00·(1 − 0,4528)/0,045 = €182,40
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,4528 = €452,80
Koers
P = €635,20
Antwoord
P = €635,20
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 6,975 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€960 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Los numeriek op
P(6%) = €1 000,00, P(7%) = €959,00
YTM = 6,975%
Antwoord
YTM = 6,975%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 10,08 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (122,5 − 100)/15 = 1,5
Antwoord
z = 1,5
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,014
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,1 + 1·0,3 + 2·0,25 + 3·0,35 = 1,85
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,1 + 1·0,3 + 4·0,25 + 9·0,35 = 4,45
Variantie
Var(X) = 4,45 − 1,85² = 1,028
σ = √1,028 = 1,014
Antwoord
σ = 1,014
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,1586
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,67 = 0,02799
P(X = 1) = 7·0,4·0,66 = 0,1306
Tel ze op
P = 0,02799 + 0,1306 = 0,1586
Antwoord
P = 0,1586
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,5573
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (175,9 − 178)/7 = −0,3
z₂ = (188,85 − 178)/7 = 1,55
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,55) − Φ(−0,3) = 0,9394 − 0,3821 = 0,5573
Antwoord
P = 0,5573
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 473 h
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,25
z uit de tabel
z ≈ −0,67
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 500 − 0,67·40 = 473 h
Antwoord
x = 473 h
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 11,85
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 8, t = 3,355
Foutmarge
E = 3,355·5,5/√9 = 6,151
Interval
18 ± 6,151 → [11,85, 24,15]
Antwoord
ondergrens = 11,85
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 2481
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·29/1,5)² = 2480
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 2481
Antwoord
n = 2481
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −1,808
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714
Toetsingsgrootheid
t = (196,9 − 200)/1,714 = −1,808
Antwoord
t = −1,808
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 63,18
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 2,576·12/√25 = 6,182
Intervalgrens
U = 57 + 6,182 = 63,18
Antwoord
U = 63,18
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9874
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 118/6 = 19,67
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192
Syy = Σ(y − ȳ)² = 533,3
Determinatiecoëfficiënt
r² = 192²/(70·533,3) = 0,9874
Antwoord
r² = 0,9874
Ongeveer 98,74% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 23,6
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.