Je belegt €2 000 tegen 3 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 16 jaar.
PV = €2 000r = 3%t = 16
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €15 000 tegen 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €225 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €15 000A = €2253,6% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €31 000, €25 000, €28 000. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €18 000, €35 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 18 000CF2 = 35 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% en loopt over 12 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 3,5% naar 5,5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 4%n = 12y1 = 3,5%y2 = 5,5%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €975 met een effectief rendement van 6% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 5,2 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 50 basispunten stijgt.
P0 = €975y = 6%D = 5,2Δy = +50 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 14%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 1,2. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,5 aan te houden. Het belastingtarief is 30%, de risicovrije rente 2,5% en de marktrisicopremie 4,5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.
βU = 1,2D/E = 0,5T = 30%rf = 2,5%rm − rf = 4,5%
re = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 14, 15, 28, 15, 11.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt onder 80?
μ = 50σ = 15x = 80
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 2 personen kiezen uit een groep van 15? De volgorde doet er niet toe.
n = 15k = 2
N =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €3 inzet. Je wint €15 met kans 0,1 en €30 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €3€15: p = 0,1€30: p = 0,01
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,6265 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,6265
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 20% ervan ligt (het 20e percentiel).
μ = 65σ = 10P = 20%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 16 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −9,5 en standaardafwijking 3,9. Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 16d̄ = −9,5sd = 3,995%t(15) = 2,131
E = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 30. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?
Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 51,81 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.
Een steekproef van 16 metingen heeft gemiddelde 120,8. De standaardafwijking van de populatie is 15. Bereken de bovengrens U van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 120,8σ = 15n = 1699%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 5,5.
n = 6x = 5,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 3232 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,03·16 = 0,48
e0,48 = 1,616
Eindwaarde
FV = 2 000·1,616 = €3 232,15
Antwoord
FV = €3 232,15
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: N = 75 betalingen
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0,003/225 = 0,8
Los op met logaritmen
N = −ln(0,8)/ln(1,003) = 74,49
Rond naar boven af op hele betalingen
74 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 75
Antwoord
N = 75 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −7462 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 31 000/1,12 = 27 678,57
CF2/(1 + 0,12)2 = 25 000/1,254 = 19 929,85
CF3/(1 + 0,12)3 = 28 000/1,405 = 19 929,85
Optellen
NPV = €−7 461,73
Antwoord
NPV = €−7 461,73
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 3,58 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(0%) = 3 000,00
NPV(5%) = −1 111,11
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 5,2/1,06 = 4,906
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −4,906·(0,005) = −2,453%
P ≈ 975·(1 − 0,02453) = €951,08
Antwoord
P = €951,08
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 10,02 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €9 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444
WACC
WACC = 0,5556·14% + 0,4444·7%·(1 − 0,28) = 10,02%
Antwoord
WACC = 10,02%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 9,79 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Bèta met hefboom
βL = 1,2·(1 + 0,7·0,5) = 1,62
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2,5% + 1,62·4,5% = 9,79%
Antwoord
re = 9,79%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 6,58
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 2
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Antwoord
P = 0,9772
11.Kansrekening
Antwoord: N = 105
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaties
C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105
Antwoord
N = 105
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = −1,2 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 12 (p = 0,1), 27 (p = 0,01), −3 (p = 0,89)
Verwachtingswaarde
E(G) = 12·0,1 + 27·0,01 − 3·0,89 = −1,2 €
Antwoord
E(G) = −1,2 €
Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.
13.Normale verdeling
Antwoord: z = 0,89
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = (1 + 0,6265)/2 = 0,8133
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,8133 in de tabel en lees z af.
z = 0,89
Antwoord
z = 0,89
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 56,58 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Terug naar x
x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 punten
Antwoord
x = 56,58 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 2,078 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 15, t = 2,131
Foutmarge
E = 2,131·3,9/√16 = 2,078
Antwoord
E = 2,078 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 385
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,96·30/3)² = 384,2
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 385
Antwoord
n = 385
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 2,896
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625
Toetsingsgrootheid
t = (51,81 − 50)/0,625 = 2,896
Antwoord
t = 2,896
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 130,5
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 2,576·15/√16 = 9,66
Intervalgrens
U = 120,8 + 9,66 = 130,5
Antwoord
U = 130,5
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9566
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 401/5 = 80,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 184
Syy = Σ(y − ȳ)² = 884,8
Determinatiecoëfficiënt
r² = 184²/(40·884,8) = 0,9566
Antwoord
r² = 0,9566
Ongeveer 95,66% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 20,02
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.