Je hebt over 4 jaar €50 000 nodig. Een rekening geeft 5 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €50 0005% / 4n = 4
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €300 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 22? Bereken de restschuld B.
P = €300 0004,8% / 12N = 360k = 264
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €50 000. Ze levert 4 jaar lang aan het eind van elk jaar €14 500 op en kan daarna voor €7 500 worden verkocht. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €50 000CF = €14 500S = €7 500n = 4r = 6%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €14 500, €13 500, €14 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 14 500CF2 = 13 500CF3 = 14 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 2,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 2,5%n = 3
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 5% loopt over 5 jaar af en wordt verkocht voor €960. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 5%n = 5P = €960
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €60,00 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 1,2, de risicovrije rente 3,5% en het marktrendement 8,5%. Bereken de WACC.
β = 1,2rf = 3,5%rm = 8,5%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 10, 58, 26, 55, 50.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 75. Welk deel P van de waarden ligt onder 575?
μ = 500σ = 75x = 575
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Een zak bevat 7 rode en 4 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?
7 / 4
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 7 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,2. Wat is de kans P op precies 2 goede antwoorden?
n = 7p = 0,2k = 2
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 92,5 en 123,25 punten? Geef P als decimaal getal.
μ = 100σ = 15x1 = 92,5x2 = 123,25
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 95% ervan ligt (het 95e percentiel).
μ = 178σ = 7P = 95%
x = cm
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 30 items heeft gemiddelde 13,5 en standaardafwijking s = 1. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 30x̄ = 13,5s = 199%t(29) = 2,756
E =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 16. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?
20 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 3,14 en de standaardafwijking van de verschillen is 7,4. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 95 %. De standaardafwijking is 17. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 6
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 55?
n = 5ŷ = 55
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 40987 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·4 = 16
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,22 = €40 987,32
Antwoord
PV = €40 987,32
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: B = 125269 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 360 − 264 = 96
B = 1574·(1 − (1 + 0,004)−96)/0,004 = €125 269,10
Antwoord
B = €125 269,10
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 6185 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van de jaarlijkse kasstromen
14 500·3,465 = 50 244,03
Contante waarde van de restwaarde
7 500/1,262 = 5 940,70
NPV
NPV = −50 000 + 50 244,03 + 5 940,70 = €6 184,73
Antwoord
NPV = €6 184,73
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 31,47 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(30%) = 514,34
NPV(35%) = −1 161,66
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, i = 0,0125, N = 6
Contante waarde van de coupons
€15,00·(1 − 0,9282)/0,0125 = €86,19
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,9282 = €928,17
Koers
P = €1 014,37
Antwoord
P = €1 014,37
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 5,948 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€960 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Los numeriek op
P(5%) = €1 000,00, P(6%) = €957,88
YTM = 5,948%
Antwoord
YTM = 5,948%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,458 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 1
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,3818
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Eerste en tweede trekking
P = 7/11 · 6/10 = 42/110 = 0,3818
Antwoord
P = 0,3818
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,2753
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binomiale formule
P(X = 2) = 21·0,22·0,85 = 21·0,04·0,3277 = 0,2753
Antwoord
P = 0,2753
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,6309
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5
z₂ = (123,25 − 100)/15 = 1,55
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,55) − Φ(−0,5) = 0,9394 − 0,3085 = 0,6309
Antwoord
P = 0,6309
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 189,5 cm
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Terug naar x
x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm
Antwoord
x = 189,51 cm
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 0,5032
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 29, t = 2,756
Foutmarge
E = 2,756·1/√30 = 0,5032
Antwoord
E = 0,5032
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 693
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·16/1)² = 692,7
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 693
Antwoord
n = 693
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 1,898
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standaardfout van het gemiddelde verschil
SE = 7,4/√20 = 1,655
Toetsingsgrootheid
t = 3,14/1,655 = 1,898
Antwoord
t = 1,898
Bij df = 19 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,093; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 126
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((1,645 + 1,645)·17/5)² = 125,1
Naar boven afronden
n = 126
Antwoord
n = 126
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9827
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 162/6 = 27
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 234
Syy = Σ(y − ȳ)² = 796
Determinatiecoëfficiënt
r² = 234²/(70·796) = 0,9827
Antwoord
r² = 0,9827
Ongeveer 98,27% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 4,474
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 285/5 = 57
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38
Regressielijn
b = 38/10 = 3,8
a = 57 − 3,8·5 = 38
ŷ = 38 + 3,8·x
Los op naar x
x = (55 − 38)/3,8 = 4,474
Antwoord
x = 4,474
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.