Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 4 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 3 jaar.
PV = €2 0004% / 4n = 3
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 6 jaar lang aan het eind van elke maand €300. De rekening geeft 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €3004,2% / 12N = 72
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €30 000, €24 000, €25 000. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €28 500, €28 500, €29 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 28 500CF2 = 28 500CF3 = 29 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% en loopt over 9 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 3% naar 3,5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 8%n = 9y1 = 3%y2 = 3,5%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement is 5%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 8%n = 4YTM = 5%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €8 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van de preferente aandelen 6,5% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 5%. Het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €12 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 14%. Het vreemd vermogen bestaat uit 2 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 6%, resterende looptijd 11 jaar) die elk op €925 noteren. Het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0436 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,0436
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 75% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 100 puntenσ = 15 punten75%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 30 items heeft gemiddelde 82,5 en standaardafwijking s = 2. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 30x̄ = 82,5s = 299%t(29) = 2,756
E =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 16. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 4 heeft?
Een steekproef van 36 studenten heeft een gemiddelde score van 198,8 en een steekproefstandaardafwijking van 4. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 2 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 90 %. De standaardafwijking is 8. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 56?
n = 5ŷ = 56
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 2254 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = r/m = 0,04/4 = 0,01
N = m·n = 4·3 = 12
Eindwaarde
FV = 2 000·(1 + 0,01)12 = 2 000·1,127 = €2 253,65
Antwoord
FV = €2 253,65
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 24517 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 30 000/1,06 = 28 301,89
CF2/(1 + 0,06)2 = 24 000/1,124 = 21 359,91
CF3/(1 + 0,06)3 = 25 000/1,191 = 20 990,48
Optellen
NPV = €−4 347,72
Antwoord
NPV = €−4 347,72
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 32,81 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(30%) = 1 986,80
NPV(35%) = −1 464,21
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 80/1,05 = 76,19, t·PV = 76,19
t = 2: 80/1,103 = 72,56, t·PV = 145,12
t = 3: 80/1,158 = 69,11, t·PV = 207,32
t = 4: 1080/1,216 = 888,52, t·PV = 3 554,07
Duration
P = 1 106,38
D = 3 982,71/1 106,38 = 3,6
Antwoord
D = 3,6 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,136 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten van het vreemd vermogen (YTM)
925 = 60·(1 − (1 + y)−11)/y + 1000/(1 + y)11
y = 7%
Marktwaarden
D = 2 000·€925 = €1 850 000
V = €13 850 000, E/V = 0,8664, D/V = 0,1336
WACC
WACC = 0,8664·14% + 0,1336·7%·(1 − 0,21) = 12,87%
Antwoord
WACC = 12,87%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 14,06
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1,2
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Antwoord
P = 0,8849
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 1,06
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,0436 = 0,9564
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,9564 in de tabel en lees z af.
z = 1,71
Antwoord
z = 1,71
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 90 punten
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,25
z uit de tabel
z ≈ −0,67
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 100 − 0,67·15 = 90 punten
Antwoord
x = 90 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 1,006
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 29, t = 2,756
Foutmarge
E = 2,756·2/√30 = 1,006
Antwoord
E = 1,006
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 107
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·16/4)² = 106,2
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 107
Antwoord
n = 107
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −1,8
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667
Toetsingsgrootheid
t = (198,8 − 200)/0,6667 = −1,8
Antwoord
t = −1,8
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 209
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((2,326 + 1,282)·8/2)² = 208,3
Naar boven afronden
n = 209
Antwoord
n = 209
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9976
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 286/5 = 57,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190
Syy = Σ(y − ȳ)² = 906,8
Correlatiecoëfficiënt
r = 190/√(40·906,8) = 0,9976
Antwoord
r = 0,9976
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 5,941
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 260/5 = 52
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 170
Regressielijn
b = 170/40 = 4,25
a = 52 − 4,25·5 = 30,75
ŷ = 30,75 + 4,25·x
Los op naar x
x = (56 − 30,75)/4,25 = 5,941
Antwoord
x = 5,941
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.