Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 4,8 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 8 jaar.
PV = €2 0004,8% / 4n = 8
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 8 jaar lang aan het eind van elke maand €50. De rekening geeft 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €507,2% / 12N = 96
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €250 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €19 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 3 % per jaar. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €250 000CF1 = €19 000g = 3%r = 10%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost vandaag €150 000. De kasstroom is €20 500 aan het eind van jaar 1 en groeit met 2 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 8. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €150 000CF1 = €20 500g = 2%n = 8r = 10%
NPV = €
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement is 9% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 9%n = 5
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 3 jaar af en wordt verkocht voor €935. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 3P = €935
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 0,9 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,5. Ze wil die verhouding verhogen tot 0,75. Het belastingtarief is 25,8%, de risicovrije rente 2,5% en de marktrisicopremie 6,5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 60, 14, 25, 26, 58, 31.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 5. Bereken de z-score z van een score van 62,5.
μ = 70σ = 5x = 62,5
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Een zak bevat 5 rode en 3 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?
5 / 3
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 12 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,1. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 12p = 0,1
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,9249 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,9249
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 10% ervan ligt (het 10e percentiel).
μ = 178σ = 7P = 10%
x = cm
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 25 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 1,6. Wat is de foutmarge E₂ van een 99%-interval uit dezelfde data?
90%n₁ = 25E₁ = 1,699%
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 9. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft?
Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 22 studenten, gemiddelde score 112, standaardafwijking 6,5. Groep 2: 9 studenten, gemiddelde score 115,1, standaardafwijking 5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).
Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 200 tegen H₁: μ > 200 wordt uitgevoerd bij α = 0,10 met een steekproef van 64; de standaardafwijking is bekend en is 4. In werkelijkheid is het gemiddelde 201,5. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.
μ₀ = 200μ = 201,5σ = 4n = 64α = 0,10
1 − β = %
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (21, 63) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 6(21, 63)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 2930 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 19 000/(0,1 − 0,03) = 271 428,57
NPV
NPV = 271 428,57 − 250 000 = €21 428,57
Antwoord
NPV = €21 428,57
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −33813 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 762,6 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, i = 0,045, N = 10
Contante waarde van de coupons
€15,00·(1 − 0,6439)/0,045 = €118,69
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,6439 = €643,93
Koers
P = €762,62
Antwoord
P = €762,62
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 6,452 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€935 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Los numeriek op
P(6%) = €946,54, P(7%) = €921,27
YTM = 6,452%
Antwoord
YTM = 6,452%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,422 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €9 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444
WACC
WACC = 0,5556·10% + 0,4444·6%·(1 − 0,3) = 7,422%
Antwoord
WACC = 7,422%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 9,142 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 0,9/(1 + 0,742·0,5) = 0,6565
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 0,6565·(1 + 0,742·0,75) = 1,022
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2,5% + 1,022·6,5% = 9,142%
Antwoord
re = 9,142%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 18,92
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (62,5 − 70)/5 = −1,5
Antwoord
z = −1,5
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,3571
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Eerste en tweede trekking
P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0,3571
Antwoord
P = 0,3571
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,659
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,912 = 0,2824
P(X = 1) = 12·0,1·0,911 = 0,3766
Tel ze op
P = 0,2824 + 0,3766 = 0,659
Antwoord
P = 0,659
13.Normale verdeling
Antwoord: z = 1,78
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = (1 + 0,9249)/2 = 0,9625
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,9625 in de tabel en lees z af.
z = 1,78
Antwoord
z = 1,78
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 169 cm
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Terug naar x
x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm
Antwoord
x = 169,03 cm
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 2,506
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(25/25) = 1,566
Nieuwe marge
E₂ = 1,6·1,566 = 2,506
Antwoord
E₂ = 2,506
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 55
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·9/2)² = 54,8
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 55
Antwoord
n = 55
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −1,28
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolde variantie
sp² = (21·6,5² + 8·5²)/29 = 37,49
sp = 6,123
Standaardfout
SE = 6,123·√(1/22 + 1/9) = 2,423
Toetsingsgrootheid
t = (112 − 115,1)/2,423 = −1,28
Antwoord
t = −1,28
Bij df = 29 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,045; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: 1 − β = 95,71 %
Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritiek steekproefgemiddelde
SE = 4/√64 = 0,5
x̄c = 200 + 1,282·0,5 = 200,6
z onder het ware gemiddelde
z = (200,6 − 201,5)/0,5 = −1,718
Vermogen
onderscheidend vermogen = P(Z > −1,718) = 95,71%
1 − β = 95,71%
Antwoord
1 − β = 95,71%
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,992
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 115/6 = 19,17
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 185
Syy = Σ(y − ȳ)² = 496,8
Correlatiecoëfficiënt
r = 185/√(70·496,8) = 0,992
Antwoord
r = 0,992
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −2,833
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 395/6 = 65,83
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 269
Regressielijn
b = 269/70 = 3,843
a = 65,83 − 3,843·21 = −14,87
ŷ = −14,87 + 3,843·x
Voorspelde waarde
ŷ = −14,87 + 3,843·21 = 65,83
Residu
e = 63 − 65,83 = −2,833
Antwoord
e = −2,833
Het punt ligt onder de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.