Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 2 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 7 jaar.
PV = €2 0002% / 4n = 7
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €150 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €150 0003,6% / 12N = 360
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €60 000 en levert 4 jaar lang aan het eind van elk jaar €21 500 op. De vermogenskosten zijn 8 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €30 500, €23 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 30 500CF2 = 23 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 4 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 4%) als het effectieve rendement 7% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 6,5% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 4y0 = 7%y1 = 6,5%
HPR = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 7 jaar af en wordt verkocht voor €1 130. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 7P = €1 130
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €12 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 13%, de kosten van de preferente aandelen 7,5% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4,5%. Het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,2 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,25. Ze wil die verhouding verhogen tot 0,75. Het belastingtarief is 20%, de risicovrije rente 3% en de marktrisicopremie 7%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 30, 14, 35, 22, 13, 43, 45.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 8. Welk deel P van de waarden ligt onder 90,4?
μ = 100σ = 8x = 90,4
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,1, 0,15, 0,15, 0,3
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 6 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,3. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 6p = 0,3
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,9535 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,9535
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 30% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 65 puntenσ = 10 punten30%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 100 telefoons, gemiddelde 53,5 h, bekende standaardafwijking 20 h. Model 2: 50 telefoons, gemiddelde 61 h, bekende standaardafwijking 18 h. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Een vooronderzoek wijst erop dat ongeveer 0,2 van de producten defect is. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,03 heeft?
Een steekproef van 81 studenten heeft een gemiddelde score van 47,67 en een steekproefstandaardafwijking van 15. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.
Een steekproef van 64 metingen heeft gemiddelde 201,1. De standaardafwijking van de populatie is 10. Bereken de bovengrens U van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 201,1σ = 10n = 6495%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (11, 34) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 6(11, 34)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 2300 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = r/m = 0,02/4 = 0,005
N = m·n = 4·7 = 28
Eindwaarde
FV = 2 000·(1 + 0,005)28 = 2 000·1,15 = €2 299,75
Antwoord
FV = €2 299,75
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 682 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·30 = 360
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,3401
A = 150 000·0,003/(1 − 0,3401) = €681,97
Antwoord
A = €681,97
3.NCW & IRR
Antwoord: DPB = 3,291 jaar
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 21 500/1,08 = 19 907,41 → Σ = 19 907,41
jaar 2: 21 500/1,166 = 18 432,78 → Σ = 38 340,19
jaar 3: 21 500/1,26 = 17 067,39 → Σ = 55 407,59
jaar 4: 21 500/1,36 = 15 803,14 → Σ = 71 210,73
Fractie van het laatste jaar
DPB = 3 + 4 592,41/15 803,14 = 3,291
Antwoord
DPB = 3,291 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (2,791 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 4,866 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(0%) = 3 500,00
NPV(5%) = −90,70
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 130 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Los numeriek op
P(1%) = €1 201,85, P(2%) = €1 129,44
YTM = 1,992%
Antwoord
YTM = 1,992%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 11,38 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1,2/(1 + 0,8·0,25) = 1
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 1·(1 + 0,8·0,75) = 1,6
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3% + 1,6·7% = 14,2%
Antwoord
re = 14,2%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 13,03
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1,2
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Antwoord
P = 0,1151
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,627
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,76 = 0,1176
P(X = 1) = 6·0,3·0,75 = 0,3025
Tel ze op
P = 0,1176 + 0,3025 = 0,4202
Antwoord
P = 0,4202
13.Normale verdeling
Antwoord: z = −1,68
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,9535 = 0,0465
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,0465 in de tabel en lees z af.
z = −1,68
Antwoord
z = −1,68
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 59,8 punten
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,3
z uit de tabel
z ≈ −0,52
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 65 − 0,52·10 = 59,8 punten
Antwoord
x = 59,8 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = −2,175 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 53,5 − 61 = −7,5
Standaardfout
SE = √(20²/100 + 18²/50) = 3,237
Foutmarge
E = 1,645·3,237 = 5,325
Interval
−7,5 ± 5,325 → [−12,83, −2,175]
Antwoord
bovengrens = −2,175 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 683
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n oplossen
n = 1,96²·0,2·0,8/0,03² = 683
Naar boven afronden
n = 683
Antwoord
n = 683
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −1,398
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667
Toetsingsgrootheid
t = (47,67 − 50)/1,667 = −1,398
Antwoord
t = −1,398
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 203,5
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,96·10/√64 = 2,45
Intervalgrens
U = 201,1 + 2,45 = 203,5
Antwoord
U = 203,5
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9972
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 1524 − 30·231/5 = 138
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 11151 − 231²/5 = 478,8
Correlatiecoëfficiënt
r = 138/√(40·478,8) = 0,9972
Antwoord
r = 0,9972
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −2,338
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 145/6 = 24,17
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 213
Regressielijn
b = 213/70 = 3,043
a = 24,17 − 3,043·7 = 2,867
ŷ = 2,867 + 3,043·x
Voorspelde waarde
ŷ = 2,867 + 3,043·11 = 36,34
Residu
e = 34 − 36,34 = −2,338
Antwoord
e = −2,338
Het punt ligt onder de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.