Je hebt over 9 jaar €50 000 nodig. Een rekening geeft 5 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €50 0005% / 4n = 9
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €12 000 tegen 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €250 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €12 000A = €2504,8% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €400 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €31 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 4 % per jaar. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €400 000CF1 = €31 000g = 4%r = 10%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 €4 000, €3 500, €4 500, €4 000 op. Kasstromen kunnen worden herbelegd tegen de vermogenskosten van 6 %. Bereken de gemodificeerde interne rentabiliteit MIRR in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Het effectieve rendement is 7% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 7%n = 11
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 5% loopt over 5 jaar af en wordt verkocht voor €1 090. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 5%n = 5P = €1 090
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €28,50 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 0,6, de risicovrije rente 1,5% en het marktrendement 5,5%. Bereken de WACC.
β = 0,6rf = 1,5%rm = 5,5%rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 30, 31, 28, 48, 33, 11.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 12. Bereken de z-score z van een score van 118.
μ = 100σ = 12x = 118
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 4 personen kiezen uit een groep van 14? De volgorde doet er niet toe.
n = 14k = 4
N =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 12 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,2. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?
n = 12p = 0,2k = 3
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0446 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,0446
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De lengtes X van mannen en Y van vrouwen in een groep zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 180 cm en standaardafwijking 10 cm, Y heeft gemiddelde 170 cm en standaardafwijking 12 cm. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 11 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −2,1 en standaardafwijking 6. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 11d̄ = −2,1sd = 699%t(10) = 3,169
ondergrens = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Een vooronderzoek wijst erop dat ongeveer 0,6 van de producten defect is. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,05 heeft?
Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 116,9 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.
Een steekproef van 100 metingen heeft gemiddelde 204,4. De standaardafwijking van de populatie is 20. Bereken de bovengrens U van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 204,4σ = 20n = 10099%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 6
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (5, 28) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 5(5, 28)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 31970 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·9 = 36
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,564 = €31 970,46
Antwoord
PV = €31 970,46
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: N = 54 betalingen
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,004/250 = 0,808
Los op met logaritmen
N = −ln(0,808)/ln(1,004) = 53,4
Rond naar boven af op hele betalingen
53 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 54
Antwoord
N = 54 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 116667 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 31 000/(0,1 − 0,04) = 516 666,67
NPV
NPV = 516 666,67 − 400 000 = €116 666,67
Antwoord
NPV = €116 666,67
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: MIRR = 14,96 %
Gemodificeerde IRR: rent elke inkomende kasstroom op tot het eind van het project tegen het herbeleggingspercentage (meestal de vermogenskosten) om de eindwaarde TV te krijgen. De MIRR is de rente die de initiële investering laat groeien tot TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Eindwaarde van de inkomende kasstromen
4 000·1,063 = 4 764,06
3 500·1,062 = 3 932,60
4 500·1,061 = 4 770,00
4 000·1,060 = 4 000,00
TV = 17 466,66
MIRR
MIRR = (17 466,66/10 000)1/4 − 1 = 14,96%
Antwoord
MIRR = 14,96%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1076 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €40,00, i = 0,035, N = 22
Contante waarde van de coupons
€40,00·(1 − 0,4692)/0,035 = €606,68
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,4692 = €469,15
Koers
P = €1 075,84
Antwoord
P = €1 075,84
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 3,033 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 090 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Los numeriek op
P(3%) = €1 091,59, P(4%) = €1 044,52
YTM = 3,033%
Antwoord
YTM = 3,033%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 10,7 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·12% + 0,1667·6%·(1 − 0,3) = 10,7%
Antwoord
WACC = 10,7%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 3,699 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (118 − 100)/12 = 1,5
Antwoord
z = 1,5
11.Kansrekening
Antwoord: N = 1001
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaties
C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001
Antwoord
N = 1001
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,2362
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,0446 = 0,9554
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,9554 in de tabel en lees z af.
z = 1,70
Antwoord
z = 1,70
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7389
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standaardiseren
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Kansrekening
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Antwoord
P = 0,7389
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −7,833 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 10, t = 3,169
Foutmarge
E = 3,169·6/√11 = 5,733
Interval
−2,1 ± 5,733 → [−7,833, 3,633]
Antwoord
ondergrens = −7,833 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 260
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n oplossen
n = 1,645²·0,6·0,4/0,05² = 259,8
Naar boven afronden
n = 260
Antwoord
n = 260
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −3,1
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 10/√100 = 10/10 = 1
Toetsingsgrootheid
t = (116,9 − 120)/1 = −3,1
Antwoord
t = −3,1
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 209,6
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 2,576·20/√100 = 5,152
Intervalgrens
U = 204,4 + 5,152 = 209,6
Antwoord
U = 209,6
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9027
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 107/6 = 17,83
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 142,8
Determinatiecoëfficiënt
r² = −47,5²/(17,5·142,8) = 0,9027
Antwoord
r² = 0,9027
Ongeveer 90,27% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = 4,35
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 139/5 = 27,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166
Regressielijn
b = 166/40 = 4,15
a = 27,8 − 4,15·6 = 2,9
ŷ = 2,9 + 4,15·x
Voorspelde waarde
ŷ = 2,9 + 4,15·5 = 23,65
Residu
e = 28 − 23,65 = 4,35
Antwoord
e = 4,35
Het punt ligt boven de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.