Je hebt over 5 jaar €5 000 nodig. Een rekening geeft 5 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €5 0005% / 12n = 5
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je stort 26 jaar lang aan het begin van elk jaar €1 000, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 6 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 26 op de rekening? Bereken FV.
A = €1 000i = 6%n = 26
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €400 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €34 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 4 % per jaar. De vermogenskosten zijn 11 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €400 000CF1 = €34 000g = 4%r = 11%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €5 000, €4 000, €6 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 4 000CF3 = 6 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 10 jaar af. Het effectieve rendement is 4% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 4%n = 10
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 14 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 9%) wordt verkocht voor €1 082. De uitgever kan haar over 6 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 090. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 9%P = €1 082aflossingsprijs = €1 090vervroegd aflosbaar over 6 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 000 000 aandelen van €20,00 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 20%. De bèta van het aandeel is 1,2, de risicovrije rente 4% en het marktrendement 10%. Bereken de WACC.
β = 1,2rf = 4%rm = 10%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 15, 47, 36, 21, 56.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt boven 110?
μ = 100σ = 10x = 110
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Een zak bevat 5 rode en 4 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?
5 / 4
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 9 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,6. Wat is de kans P op precies 4 goede antwoorden?
n = 9p = 0,6k = 4
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Welk deel ligt tussen 436 en 540 h? Geef P als decimaal getal.
μ = 500σ = 40x1 = 436x2 = 540
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Bereken de waarde x waaronder 97,5% ervan ligt (het 97,5e percentiel).
μ = 500σ = 40P = 97,5%
x = h
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 10 items heeft gemiddelde 110,5 en standaardafwijking s = 9,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 10x̄ = 110,5s = 9,590%t(9) = 1,833
bovengrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 5 proefvelden, gemiddelde opbrengst 34,5 kg, standaardafwijking 9,5 kg. Groep 2: 9 proefvelden, gemiddelde 27,5 kg, standaardafwijking 3,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 11 studenten, gemiddelde score 83,5, standaardafwijking 5,5. Groep 2: 11 studenten, gemiddelde score 73,5, standaardafwijking 10. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).
Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 500 tegen H₁: μ > 500 wordt uitgevoerd bij α = 0,01 met een steekproef van 64; de standaardafwijking is bekend en is 4. In werkelijkheid is het gemiddelde 501,4. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.
μ₀ = 500μ = 501,4σ = 4n = 64α = 0,01
1 − β = %
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (7, 12) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 5(7, 12)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 3896 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·5 = 60
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,283 = €3 896,03
Antwoord
PV = €3 896,03
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 62706 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Gewone annuïteitsfactor
((1 + 0,06)26 − 1)/0,06 = 59,16
Prenumerando annuïteit
Elke storting staat een jaar langer uit.
FV = 1 000·59,16·1,06 = €62 705,77
Antwoord
FV = €62 705,77
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 85714 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 34 000/(0,11 − 0,04) = 485 714,29
NPV
NPV = 485 714,29 − 400 000 = €85 714,29
Antwoord
NPV = €85 714,29
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 22,57 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(20%) = 416,67
NPV(25%) = −368,00
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 20 + 5·416,67/(416,67 − (−368,00)) = 22,66%
exact: NPV(22,57%) = 0 → IRR = 22,57%
Antwoord
IRR = 22,57%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1164 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €30,00, i = 0,02, N = 20
Contante waarde van de coupons
€30,00·(1 − 0,673)/0,02 = €490,54
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,673 = €672,97
Koers
P = €1 163,51
Antwoord
P = €1 163,51
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTC = 8,418 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1082 = 90·(1 − (1 + y)−6)/y + 1090/(1 + y)6
Los numeriek op
y = 8%: €1 102,94
y = 9%: €1 053,66
YTC = 8,418%
Antwoord
YTC = 8,418%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 8,005%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,587 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €6 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·11% + 0,6667·4%·(1 − 0,28) = 5,587%
Antwoord
WACC = 5,587%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,476 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 1
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Antwoord
P = 0,1587
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,2778
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Eerste en tweede trekking
P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0,2778
Antwoord
P = 0,2778
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,1672
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (436 − 500)/40 = −1,6
z₂ = (540 − 500)/40 = 1
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1) − Φ(−1,6) = 0,8413 − 0,0548 = 0,7865
Antwoord
P = 0,7865
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 578,4 h
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Terug naar x
x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h
Antwoord
x = 578,4 h
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 116
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Foutmarge
E = 1,833·9,5/√10 = 5,507
Interval
110,5 ± 5,507 → [105, 116]
Antwoord
bovengrens = 116
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 10,54 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (4·9,5² + 8·3,5²)/12 = 38,25
sp = 6,185
Foutmarge
E = 3,055·6,185·√(1/5 + 1/9) = 10,54
Antwoord
E = 10,54 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 2,906
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolde variantie
sp² = (10·5,5² + 10·10²)/20 = 65,13
sp = 8,07
Standaardfout
SE = 8,07·√(1/11 + 1/11) = 3,441
Toetsingsgrootheid
t = (83,5 − 73,5)/3,441 = 2,906
Antwoord
t = 2,906
Bij df = 20 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,086; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: 1 − β = 68,23 %
Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritiek steekproefgemiddelde
SE = 4/√64 = 0,5
x̄c = 500 + 2,326·0,5 = 501,2
z onder het ware gemiddelde
z = (501,2 − 501,4)/0,5 = −0,474
Vermogen
onderscheidend vermogen = P(Z > −0,474) = 68,23%
1 − β = 68,23%
Antwoord
1 − β = 68,23%
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9906
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 121/5 = 24,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148
Syy = Σ(y − ȳ)² = 552,8
Determinatiecoëfficiënt
r² = 148²/(40·552,8) = 0,9906
Antwoord
r² = 0,9906
Ongeveer 99,06% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −4,95
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 73/5 = 14,6
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94
Regressielijn
b = 94/40 = 2,35
a = 14,6 − 2,35·6 = 0,5
ŷ = 0,5 + 2,35·x
Voorspelde waarde
ŷ = 0,5 + 2,35·7 = 16,95
Residu
e = 12 − 16,95 = −4,95
Antwoord
e = −4,95
Het punt ligt onder de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.