Een annuïteit betaalt 7 jaar lang aan het eind van elk jaar €1 000. De rente is 10 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.
A = €1 000i = 10%n = 7
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 26 jaar lang aan het eind van elke maand €50. De rekening geeft 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €504,2% / 12N = 312
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 6 €16 000, €16 500, €12 500, €12 000, €11 500, €16 500 op. De vermogenskosten zijn 8 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een investering van €50 000 levert 6 jaar lang aan het eind van elk jaar €15 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €50 000CF = €15 500n = 6
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 13 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 137 als het effectieve rendement 5,5% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 13P = €1 137YTM = 5,5%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 18 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 8%) wordt verkocht voor €1 281. De uitgever kan haar over 5 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 080. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 8%P = €1 281aflossingsprijs = €1 080vervroegd aflosbaar over 5 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €4 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €14,00 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €1 050 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 1,2, de risicovrije rente 3,5% en het marktrendement 8,5%. Bereken de WACC.
β = 1,2rf = 3,5%rm = 8,5%rd = 3,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 30, 25, 35, 48, 52.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 25. Bereken de z-score z van een score van 537,5.
μ = 500σ = 25x = 537,5
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,15, 0,2, 0,35, 0,05
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 9 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,6. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 9p = 0,6
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt tussen 23,3 en 37,1 min? Geef P als decimaal getal.
μ = 32σ = 6x1 = 23,3x2 = 37,1
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 10% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 500 hσ = 40 h10%
x = h
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 8 items heeft gemiddelde 46,5 en standaardafwijking s = 11. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 8x̄ = 46,5s = 1195%t(7) = 2,365
E =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Een vooronderzoek wijst erop dat ongeveer 0,15 van de producten defect is. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,05 heeft?
12 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 1,11 en de standaardafwijking van de verschillen is 1,1. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.
Een steekproef van 100 metingen heeft gemiddelde 505,4. De standaardafwijking van de populatie is 20. Bereken de ondergrens L van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 505,4σ = 20n = 10099%
L =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 9.
n = 5x = 9
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 4868 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5132)/0,1 = 4,868
Contante waarde
PV = 1 000·4,868 = €4 868,42
Antwoord
PV = €4 868,42
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 28208 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 16 000/1,08 = 14 814,81 → Σ = 14 814,81
jaar 2: 16 500/1,166 = 14 146,09 → Σ = 28 960,91
jaar 3: 12 500/1,26 = 9 922,90 → Σ = 38 883,81
jaar 4: 12 000/1,36 = 8 820,36 → Σ = 47 704,17
jaar 5: 11 500/1,469 = 7 826,71 → Σ = 55 530,87
Fractie van het laatste jaar
DPB = 4 + 2 295,83/7 826,71 = 4,293
Antwoord
DPB = 4,293 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (3,417 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 21,24 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−6)/i = 50 000/15 500 = 3,226
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 21%: 3,245
i = 22%: 3,167
IRR = 21,24%
Antwoord
IRR = 21,24%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 7,003 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,055)−13 = €498,56
Coupon
C = (1137 − 498,56)/9,117 = €70,03
Couponrente
c = 70,03/1000 = 7,003%
Antwoord
c = 7,003%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTC = 3,308 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1281 = 80·(1 − (1 + y)−5)/y + 1080/(1 + y)5
Los numeriek op
y = 3%: €1 297,99
y = 4%: €1 243,83
YTC = 3,308%
Antwoord
YTC = 3,308%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 5,501%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,825 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €10 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·12% + 0,6·4,5%·(1 − 0,25) = 6,825%
Antwoord
WACC = 6,825%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,6 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (537,5 − 500)/25 = 1,5
Antwoord
z = 1,5
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 1,66
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,49 = 0,0002621
P(X = 1) = 9·0,6·0,48 = 0,003539
Tel ze op
P = 0,0002621 + 0,003539 = 0,003801
Antwoord
P = 0,003801
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7288
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,9
z uit de tabel
z ≈ 1,28
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 500 + 1,28·40 = 551 h
Antwoord
x = 551 h
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 9,198
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 7, t = 2,365
Foutmarge
E = 2,365·11/√8 = 9,198
Antwoord
E = 9,198
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 139
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n oplossen
n = 1,645²·0,15·0,85/0,05² = 138
Naar boven afronden
n = 139
Antwoord
n = 139
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 3,496
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standaardfout van het gemiddelde verschil
SE = 1,1/√12 = 0,3175
Toetsingsgrootheid
t = 1,11/0,3175 = 3,496
Antwoord
t = 3,496
Bij df = 11 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,201; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: L = 500,2
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 2,576·20/√100 = 5,152
Intervalgrens
L = 505,4 − 5,152 = 500,2
Antwoord
L = 500,2
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9897
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 261/5 = 52,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53
Syy = Σ(y − ȳ)² = 286,8
Correlatiecoëfficiënt
r = 53/√(10·286,8) = 0,9897
Antwoord
r = 0,9897
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 26
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 91/5 = 18,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104
Regressielijn
b = 104/40 = 2,6
a = 18,2 − 2,6·6 = 2,6
ŷ = 2,6 + 2,6·x
Voorspelling
ŷ = 2,6 + 2,6·9 = 26
Antwoord
ŷ = 26
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.