Je belegt €12 000 tegen een nominale rente van 5 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 3 jaar.
PV = €12 0005% / 12n = 3
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 17 jaar lang aan het eind van elke maand €500. De rekening geeft 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €5004,8% / 12N = 204
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €20 000, €24 000, €30 000, €23 000. De vermogenskosten zijn 7,000000000000001 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €36 000, €30 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 36 000CF2 = 30 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4,5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Het effectieve rendement is 3% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 4,5%YTM = 3%n = 11
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €1 070 met een effectief rendement van 6% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 5,9 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 150 basispunten stijgt.
P0 = €1 070y = 6%D = 5,9Δy = +150 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €1 000 000. De WACC is 10,34%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 5% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,1 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,2. Ze wil die verhouding verhogen tot 1. Het belastingtarief is 28%, de risicovrije rente 2% en de marktrisicopremie 4%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 44, 57, 43, 18, 25, 29, 32.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 8. Bereken de z-score z van een score van 58.
μ = 70σ = 8x = 58
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 8 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 8
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 8 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,1. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 8p = 0,1
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 246 en 260,25 g? Geef P als decimaal getal.
μ = 250σ = 5x1 = 246x2 = 260,25
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,04 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 15 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −7,1 en standaardafwijking 4,4. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 15d̄ = −7,1sd = 4,499%t(14) = 2,977
bovengrens = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 36. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 50 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 6. Een aselecte steekproef van 36 waarnemingen heeft een gemiddelde van 51,82. Toets H₀: μ = 50 tegen H₁: μ > 50. Bereken de p-waarde p.
In een onderzoek herstellen 45 van de 100 patiënten met behandeling A en 145 van de 250 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 45n₁ = 100x₂ = 145n₂ = 250
z =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3, 5) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 5(3, 5)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 13938 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 20 000/1,07 = 18 691,59
CF2/(1 + 0,07)2 = 24 000/1,145 = 20 962,53
CF3/(1 + 0,07)3 = 30 000/1,225 = 24 488,94
CF4/(1 + 0,07)4 = 23 000/1,311 = 17 546,59
Optellen
NPV = €6 689,64
Antwoord
NPV = €6 689,64
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 22 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(20%) = 1 180,56
NPV(25%) = −1 680,00
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €22,50, i = 0,015, N = 22
Contante waarde van de coupons
€22,50·(1 − 0,7207)/0,015 = €418,97
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,7207 = €720,69
Koers
P = €1 139,66
Antwoord
P = €1 139,66
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 980,7 €
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 5,9/1,06 = 5,566
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −5,566·(0,015) = −8,349%
P ≈ 1070·(1 − 0,08349) = €980,67
Antwoord
P = €980,67
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 11 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,09091·5%·(1 − 0,258) = 0,3373%
Kosten van het eigen vermogen
re = (10,34% − 0,3373%)/0,9091 = 11%
Antwoord
re = 11%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 8,615 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1,1/(1 + 0,72·0,2) = 0,9615
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 0,9615·(1 + 0,72·1) = 1,654
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2% + 1,654·4% = 8,615%
Antwoord
re = 8,615%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 13,3
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (58 − 70)/8 = −1,5
Antwoord
z = −1,5
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,7674
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Antwoord
P = 0,7674
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,8131
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,98 = 0,4305
P(X = 1) = 8·0,1·0,97 = 0,3826
Tel ze op
P = 0,4305 + 0,3826 = 0,8131
Antwoord
P = 0,8131
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,768
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (246 − 250)/5 = −0,8
z₂ = (260,25 − 250)/5 = 2,05
Oppervlakte ertussen
P = Φ(2,05) − Φ(−0,8) = 0,9798 − 0,2119 = 0,768
Antwoord
P = 0,768
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,9706
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02121 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,04)/0,02121 = −1,89
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1,89) = 0,9706
Antwoord
P = 0,9706
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = −3,718 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 14, t = 2,977
Foutmarge
E = 2,977·4,4/√15 = 3,382
Interval
−7,1 ± 3,382 → [−10,48, −3,718]
Antwoord
bovengrens = −3,718 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 19915
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,96·36/0,5)² = 19915
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 19915
Antwoord
n = 19915
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,03438
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 6/√36 = 1
z = (51,82 − 50)/1 = 1,82
Staartoppervlakte
Φ(1,82) = 0,9656
1 − Φ(1,82) = 0,0344
p-waarde
p = 0,03438
Antwoord
p = 0,03438
p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = −2,206
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Steekproeffracties
p̂₁ = 45/100 = 0,45
p̂₂ = 145/250 = 0,58
p̂ = 190/350 = 0,5429
Standaardfout onder H₀
SE = √(0,5429·0,4571·(1/100 + 1/250)) = 0,05894
Toetsingsgrootheid
z = (0,45 − 0,58)/0,05894 = −2,206
Antwoord
z = −2,206
|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,8769
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 324/5 = 64,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 27
Syy = Σ(y − ȳ)² = 94,8
Correlatiecoëfficiënt
r = 27/√(10·94,8) = 0,8769
Antwoord
r = 0,8769
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −2,7
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 70/5 = 14
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84
Regressielijn
b = 84/40 = 2,1
a = 14 − 2,1·6 = 1,4
ŷ = 1,4 + 2,1·x
Voorspelde waarde
ŷ = 1,4 + 2,1·3 = 7,7
Residu
e = 5 − 7,7 = −2,7
Antwoord
e = −2,7
Het punt ligt onder de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.