Je hebt over 9 jaar €40 000 nodig. Een rekening geeft 4 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €40 0004% / 4n = 9
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €25 000 wordt in 5 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
P = €25 0003% / 12N = 60
I = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €60 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €21 000, €27 000, €13 000. De vermogenskosten zijn 7,000000000000001 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost vandaag €100 000. De kasstroom is €17 000 aan het eind van jaar 1 en groeit met 4 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 7. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €100 000CF1 = €17 000g = 4%n = 7r = 10%
NPV = €
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 2,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 2,5%n = 3
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4,5% en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 3%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 4,5%n = 3YTM = 3%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De WACC is 8,25%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 6% en het belastingtarief is 25%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €11,50 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €1 020 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 21%. De bèta van het aandeel is 1,2, de risicovrije rente 1% en het marktrendement 5,5%. Bereken de WACC.
β = 1,2rf = 1%rm = 5,5%rd = 4,5%T = 21%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 17, 49, 26, 36, 39.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt onder 45?
μ = 60σ = 15x = 45
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Een zak bevat 8 rode en 4 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?
8 / 4
P =
12.KansrekeningMoeilijk
X heeft de getoonde verdeling, en Y = 0,5X + 5. Bepaal de standaardafwijking σY van Y.
De massa's van dozen zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 12 kg en standaardafwijking 0,8 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 6 ervan kleiner is dan 75,9 kg. Rond z af op twee decimalen.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6< 75.9 kg
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,04 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 9 items heeft gemiddelde 70 en standaardafwijking s = 1,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 9x̄ = 70s = 1,595%t(8) = 2,306
bovengrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 10 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 11,2 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 9 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 2,7 en 2,5% boven 19,023.
Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 7 studenten, gemiddelde score 54, standaardafwijking 10,5. Groep 2: 14 studenten, gemiddelde score 69,1, standaardafwijking 10. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).
Een steekproef van 16 metingen heeft gemiddelde 47,4. De standaardafwijking van de populatie is 5. Bereken de ondergrens L van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 47,4σ = 5n = 1690%
L =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 18.
n = 5x = 18
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 27957 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·9 = 36
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,431 = €27 957,00
Antwoord
PV = €27 957,00
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: I = 1953 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandbedrag
i = 0,0025, N = 60
A = 25 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−60) = €449,22
Totale rente
I = N·A − P = 60·449,2 − 25 000 = €1 953,04
Antwoord
I = €1 953,04
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −6179 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 21 000/1,07 = 19 626,17
CF2/(1 + 0,07)2 = 27 000/1,145 = 23 582,85
CF3/(1 + 0,07)3 = 13 000/1,225 = 10 611,87
Optellen
NPV = €−6 179,11
Antwoord
NPV = €−6 179,11
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −7996 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van de groeiende annuïteit
((1,04)/(1,1))7 = 0,6753
PV = 17 000/(0,1 − 0,04)·(1 − 0,6753) = 92 003,70
NPV
NPV = 92 003,70 − 100 000 = −€7 996,30
Antwoord
NPV = −€7 996,30
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1101 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €30,00, i = 0,0125, N = 6
Contante waarde van de coupons
€30,00·(1 − 0,9282)/0,0125 = €172,38
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,9282 = €928,17
Koers
P = €1 100,56
Antwoord
P = €1 100,56
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: D = 2,875 jaar
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 45/1,03 = 43,69, t·PV = 43,69
t = 2: 45/1,061 = 42,42, t·PV = 84,83
t = 3: 1045/1,093 = 956,32, t·PV = 2 868,97
Duration
P = 1 042,43
D = 2 997,49/1 042,43 = 2,875
Antwoord
D = 2,875 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 9 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,1667·6%·(1 − 0,25) = 0,75%
Kosten van het eigen vermogen
re = (8,25% − 0,75%)/0,8333 = 9%
Antwoord
re = 9%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,526 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Antwoord
P = 0,1587
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,4242
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Eerste en tweede trekking
P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0,4242
Antwoord
P = 0,4242
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 5,585
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het totaal
μT = 72 kg, σT = 0,8·√6 = 1,96 kg
Standaardiseren
z = (75,9 − 72)/1,96 = 1,99
Kansrekening
P = Φ(1,99) = 0,9767
Antwoord
P = 0,9767
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,9706
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02121 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,04)/0,02121 = −1,89
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1,89) = 0,9706
Antwoord
P = 0,9706
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 71,15
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Foutmarge
E = 2,306·1,5/√9 = 1,153
Interval
70 ± 1,153 → [68,85, 71,15]
Antwoord
bovengrens = 71,15
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 7,704 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 9·11,2² = 1129
Grenzen voor σ²
1129/19,023 = 59,35
1129/2,7 = 418,1
Grens voor σ
σ = √59,35 = 7,704 µm
Antwoord
σ = 7,704 µm
95%-interval voor σ: [7,704, 20,45] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −3,21
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolde variantie
sp² = (6·10,5² + 13·10²)/19 = 103,2
sp = 10,16
Standaardfout
SE = 10,16·√(1/7 + 1/14) = 4,703
Toetsingsgrootheid
t = (54 − 69,1)/4,703 = −3,21
Antwoord
t = −3,21
Bij df = 19 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,093; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: L = 45,34
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,645·5/√16 = 2,056
Intervalgrens
L = 47,4 − 2,056 = 45,34
Antwoord
L = 45,34
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9423
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 106/5 = 21,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Syy = Σ(y − ȳ)² = 46,8
Determinatiecoëfficiënt
r² = −21²/(10·46,8) = 0,9423
Antwoord
r² = 0,9423
Ongeveer 94,23% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 51,65
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 298/5 = 59,6
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106
Regressielijn
b = 106/40 = 2,65
a = 59,6 − 2,65·21 = 3,95
ŷ = 3,95 + 2,65·x
Voorspelling
ŷ = 3,95 + 2,65·18 = 51,65
Antwoord
ŷ = 51,65
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.