Je belegt €1 000 tegen een nominale rente van 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 4 jaar.
PV = €1 0003% / 12n = 4
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €15 000 wordt in 4 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €15 0005,4% / 12N = 48
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €30 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €11 000, €15 000, €12 000. De vermogenskosten zijn 5 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €7 000, €7 500, €4 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 7 500CF3 = 4 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 6 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 049 als het effectieve rendement 6% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 6P = €1 049YTM = 6%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement is 3,5%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 6%n = 4YTM = 3,5%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €4 000 000, preferente aandelen ter waarde van €500 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 14%, de kosten van de preferente aandelen 7,5% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4%. Het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen die noteren op €34,50; de boekwaarde van het eigen vermogen is €10 400 000. Ze heeft net een dividend van €1,80 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 3% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €17 300 000 en kosten vóór belasting van 3%. Het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 19, 46, 57, 19, 27, 47, 54.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 8. Bereken de z-score z van een score van 93,6.
μ = 100σ = 8x = 93,6
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,05, 0,25, 0,35
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 9 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,6. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?
n = 9p = 0,6k = 1
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,1251 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,1251
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 60% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 65 puntenσ = 10 punten60%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 25 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 5,4. Wat is de foutmarge E₂ van een 99%-interval gebaseerd op 100 waarnemingen?
95%n₁ = 25E₁ = 5,499%n₂ = 100
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 10 proefvelden, gemiddelde opbrengst 84 kg, standaardafwijking 4,5 kg. Groep 2: 12 proefvelden, gemiddelde 88,5 kg, standaardafwijking 9 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Een steekproef van 25 studenten heeft een gemiddelde score van 101,9 en een steekproefstandaardafwijking van 8. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 100.
Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 50 tegen H₁: μ > 50 wordt uitgevoerd bij α = 0,10 met een steekproef van 100; de standaardafwijking is bekend en is 15. In werkelijkheid is het gemiddelde 54,65. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.
μ₀ = 50μ = 54,65σ = 15n = 100α = 0,10
1 − β = %
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 6
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 2,5.
n = 5x = 2,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 1127 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·4 = 48
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,8061
A = 15 000·0,0045/(1 − 0,8061) = €348,16
Antwoord
A = €348,16
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 4448 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 11 000/1,05 = 10 476,19
CF2/(1 + 0,05)2 = 15 000/1,103 = 13 605,44
CF3/(1 + 0,05)3 = 12 000/1,158 = 10 366,05
Optellen
NPV = €4 447,68
Antwoord
NPV = €4 447,68
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 42,4 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(40%) = 284,26
NPV(45%) = −293,16
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 40 + 5·284,26/(284,26 − (−293,16)) = 42,46%
exact: NPV(42,4%) = 0 → IRR = 42,4%
Antwoord
IRR = 42,4%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 6,996 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,06)−6 = €704,96
Coupon
C = (1049 − 704,96)/4,917 = €69,96
Couponrente
c = 69,96/1000 = 6,996%
Antwoord
c = 6,996%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: D = 3,689 jaar
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 60/1,035 = 57,97, t·PV = 57,97
t = 2: 60/1,071 = 56,01, t·PV = 112,02
t = 3: 60/1,109 = 54,12, t·PV = 162,35
t = 4: 1060/1,148 = 923,73, t·PV = 3 694,92
Duration
P = 1 091,83
D = 4 027,26/1 091,83 = 3,689
Antwoord
D = 3,689 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,496 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (93,6 − 100)/8 = −0,8
Antwoord
z = −0,8
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 2,561
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,1251 = 0,8749
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,8749 in de tabel en lees z af.
z = 1,15
Antwoord
z = 1,15
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 62,5 punten
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,4
z uit de tabel
z ≈ −0,25
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 65 − 0,25·10 = 62,5 punten
Antwoord
x = 62,5 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 3,549
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(25/100) = 0,6571
Nieuwe marge
E₂ = 5,4·0,6571 = 3,549
Antwoord
E₂ = 3,549
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −11,04 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (9·4,5² + 11·9²)/20 = 53,66
sp = 7,325
Foutmarge
E = 2,086·7,325·√(1/10 + 1/12) = 6,543
Interval
−4,5 ± 6,543 → [−11,04, 2,043]
Antwoord
ondergrens = −11,04 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 1,188
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6
Toetsingsgrootheid
t = (101,9 − 100)/1,6 = 1,188
Antwoord
t = 1,188
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: 1 − β = 96,55 %
Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritiek steekproefgemiddelde
SE = 15/√100 = 1,5
x̄c = 50 + 1,282·1,5 = 51,92
z onder het ware gemiddelde
z = (51,92 − 54,65)/1,5 = −1,818
Vermogen
onderscheidend vermogen = P(Z > −1,818) = 96,55%
1 − β = 96,55%
Antwoord
1 − β = 96,55%
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9554
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 103/6 = 17,17
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 129
Syy = Σ(y − ȳ)² = 248,8
Determinatiecoëfficiënt
r² = 129²/(70·248,8) = 0,9554
Antwoord
r² = 0,9554
Ongeveer 95,54% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 20,25
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 99/5 = 19,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −9
Regressielijn
b = −9/10 = −0,9
a = 19,8 − (−0,9)·3 = 22,5
ŷ = 22,5 − 0,9·x
Voorspelling
ŷ = 22,5 + (−0,9)·2,5 = 20,25
Antwoord
ŷ = 20,25
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.