Je belegt €1 000 tegen een nominale rente van 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 3 jaar.
PV = €1 0003% / 12n = 3
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €200 000 wordt in 20 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 8? Bereken de restschuld B.
P = €200 0004,8% / 12N = 240k = 96
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €400 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €47 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 3 % per jaar. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €400 000CF1 = €47 000g = 3%r = 12%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €28 000, €15 000, €27 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −40 000CF1 = 28 000CF2 = 15 000CF3 = 27 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 6 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 110 als het effectieve rendement 2,5% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 6P = €1 110YTM = 2,5%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 3% loopt over 7 jaar af en wordt verkocht voor €940. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 3%n = 7P = €940
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €8 000 000, preferente aandelen ter waarde van €500 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van de preferente aandelen 7% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 5%. Het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 0,6. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,4 aan te houden. Het belastingtarief is 21%, de risicovrije rente 3,5% en de marktrisicopremie 6%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.
βU = 0,6D/E = 0,4T = 21%rf = 3,5%rm − rf = 6%
re = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 53, 25, 24, 46, 13.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt boven 90?
μ = 100σ = 20x = 90
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,15, 0,3, 0,1, 0,25
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €10 inzet. Je wint €30 met kans 0,3 en €200 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €10€30: p = 0,3€200: p = 0,01
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 93,25 en 108,25 punten? Geef P als decimaal getal.
μ = 100σ = 15x1 = 93,25x2 = 108,25
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 40% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 500 hσ = 40 h40%
x = h
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 100 telefoons, gemiddelde 124,5 h, bekende standaardafwijking 20 h. Model 2: 100 telefoons, gemiddelde 128 h, bekende standaardafwijking 4 h. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
De diameters van 10 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 0,5 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 9 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 2,7 en 2,5% boven 19,023.
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 80 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 24. Een aselecte steekproef van 36 waarnemingen heeft een gemiddelde van 88,72. Toets H₀: μ = 80 tegen H₁: μ > 80. Bereken de p-waarde p.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft? De standaardafwijking is 20. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 20E = 190%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6Σx = 42Σy = 152Σx² = 364Σy² = 4808Σxy = 1322
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 62?
n = 5ŷ = 62
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 1094 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 240 − 96 = 144
B = 1298·(1 − (1 + 0,004)−144)/0,004 = €141 865,78
Antwoord
B = €141 865,78
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 122222 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 47 000/(0,12 − 0,03) = 522 222,22
NPV
NPV = 522 222,22 − 400 000 = €122 222,22
Antwoord
NPV = €122 222,22
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 35,28 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(35%) = 148,35
NPV(40%) = −2 325,07
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,025)−6 = €862,30
Coupon
C = (1110 − 862,30)/5,508 = €44,97
Couponrente
c = 44,97/1000 = 4,497%
Antwoord
c = 4,497%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 4 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€940 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Los numeriek op
P(3%) = €1 000,00, P(4%) = €939,98
YTM = 4%
Antwoord
YTM = 4%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,414 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Bèta met hefboom
βL = 0,6·(1 + 0,79·0,4) = 0,7896
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3,5% + 0,7896·6% = 8,238%
Antwoord
re = 8,238%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 16,66
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −0,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Antwoord
P = 0,6915
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,431
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 20 (p = 0,3), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,69)
Verwachtingswaarde
E(G) = 20·0,3 + 190·0,01 − 10·0,69 = 1 €
Antwoord
E(G) = 1 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,3825
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (93,25 − 100)/15 = −0,45
z₂ = (108,25 − 100)/15 = 0,55
Oppervlakte ertussen
P = Φ(0,55) − Φ(−0,45) = 0,7088 − 0,3264 = 0,3825
Antwoord
P = 0,3825
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 490 h
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,4
z uit de tabel
z ≈ −0,25
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 500 − 0,25·40 = 490 h
Antwoord
x = 490 h
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −6,855 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 124,5 − 128 = −3,5
Standaardfout
SE = √(20²/100 + 4²/100) = 2,04
Foutmarge
E = 1,645·2,04 = 3,355
Interval
−3,5 ± 3,355 → [−6,855, −0,1448]
Antwoord
ondergrens = −6,855 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 0,3439 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 9·0,5² = 2,25
Grenzen voor σ²
2,25/19,023 = 0,1183
2,25/2,7 = 0,8333
Grens voor σ
σ = √0,1183 = 0,3439 µm
Antwoord
σ = 0,3439 µm
95%-interval voor σ: [0,3439, 0,9129] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,01463
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 24/√36 = 4
z = (88,72 − 80)/4 = 2,18
Staartoppervlakte
Φ(2,18) = 0,9854
1 − Φ(2,18) = 0,0146
p-waarde
p = 0,01463
Antwoord
p = 0,01463
p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 1083
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,645·20/1)² = 1082
Naar boven afronden
n = 1083
Antwoord
n = 1083
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9966
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 1322 − 42·152/6 = 258
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 4808 − 152²/6 = 957,3
Correlatiecoëfficiënt
r = 258/√(70·957,3) = 0,9966
Antwoord
r = 0,9966
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 3,447
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 331/5 = 66,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76
Regressielijn
b = 76/10 = 7,6
a = 66,2 − 7,6·4 = 35,8
ŷ = 35,8 + 7,6·x
Los op naar x
x = (62 − 35,8)/7,6 = 3,447
Antwoord
x = 3,447
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.