Je belegt €20 000 tegen 4 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 15 jaar.
PV = €20 000r = 4%t = 15
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €25 000 wordt in 4 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €25 0004,2% / 12N = 48
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €50 000 en levert 6 jaar lang aan het eind van elk jaar €15 500 op. De vermogenskosten zijn 6 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Project A kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €6 000, €4 000, €2 500 op. Project B kost €12 000 en levert €3 500, €5 000, €6 500 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement is 6% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 6%n = 5
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 6% loopt over 7 jaar af en wordt verkocht voor €1 060. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 7P = €1 060
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €4 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De WACC is 5,9%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4% en het belastingtarief is 30%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen die noteren op €30,50; de boekwaarde van het eigen vermogen is €15 300 000. Ze heeft net een dividend van €3,00 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 2% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €9 200 000 en kosten vóór belasting van 4%. Het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 44, 11, 59, 26, 43, 34.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt onder 59?
μ = 50σ = 15x = 59
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,2, 0,15
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €3 inzet. Je wint €15 met kans 0,15 en €60 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €3€15: p = 0,15€60: p = 0,02
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Welk deel ligt tussen 167,5 en 190,95 cm? Geef P als decimaal getal.
μ = 178σ = 7x1 = 167,5x2 = 190,95
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,02 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 36 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 10,9. Wat is de foutmarge E₂ van een 95%-interval uit dezelfde data?
90%n₁ = 36E₁ = 10,995%
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 11. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 4 heeft?
Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 100 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 83 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 13 mm. Lijn 2: een steekproef van 30 onderdelen heeft gemiddelde 75,2 mm, bekende standaardafwijking 18 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft? De standaardafwijking is 8. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 8E = 1,590%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3, 6) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 6(3, 6)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 36442 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,04·15 = 0,6
e0,6 = 1,822
Eindwaarde
FV = 20 000·1,822 = €36 442,38
Antwoord
FV = €36 442,38
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 566,7 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·4 = 48
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,8456
A = 25 000·0,0035/(1 − 0,8456) = €566,72
Antwoord
A = €566,72
3.NCW & IRR
Antwoord: DPB = 3,698 jaar
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 15 500/1,06 = 14 622,64 → Σ = 14 622,64
jaar 2: 15 500/1,124 = 13 794,94 → Σ = 28 417,59
jaar 3: 15 500/1,191 = 13 014,10 → Σ = 41 431,69
jaar 4: 15 500/1,262 = 12 277,45 → Σ = 53 709,14
Fractie van het laatste jaar
DPB = 3 + 8 568,31/12 277,45 = 3,698
Antwoord
DPB = 3,698 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (3,226 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: r* = 4,802 %
Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.
Verschil in kasstromen
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 500 − 6 000 = −2 500
ΔCF2 = 5 000 − 4 000 = 1 000
ΔCF3 = 6 500 − 2 500 = 4 000
IRR van het verschil
NPVΔ(4%) = 76,70
NPVΔ(5%) = −18,57
r* = 4,802%
Antwoord
r* = 4,802%
Controle: bij 4,802% zijn beide NCW’s €1 538,82.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 872 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, i = 0,03, N = 10
Contante waarde van de coupons
€15,00·(1 − 0,7441)/0,03 = €127,95
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,7441 = €744,09
Koers
P = €872,05
Antwoord
P = €872,05
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 4,964 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 060 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Los numeriek op
P(4%) = €1 120,04, P(5%) = €1 057,86
YTM = 4,964%
Antwoord
YTM = 4,964%
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 9 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,5·4%·(1 − 0,3) = 1,4%
Kosten van het eigen vermogen
re = (5,9% − 1,4%)/0,5 = 9%
Antwoord
re = 9%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 9,912 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 0,6
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Antwoord
P = 0,7257
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 2,124
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,35 + 2·0,3 + 4·0,2 + 6·0,15 = 2,3
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,35 + 4·0,3 + 16·0,2 + 36·0,15 = 9,8
Variantie
Var(X) = 9,8 − 2,3² = 4,51
σ = √4,51 = 2,124
Antwoord
σ = 2,124
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = 0,45 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 12 (p = 0,15), 57 (p = 0,02), −3 (p = 0,83)
Verwachtingswaarde
E(G) = 12·0,15 + 57·0,02 − 3·0,83 = 0,45 €
Antwoord
E(G) = 0,45 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,901
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (167,5 − 178)/7 = −1,5
z₂ = (190,95 − 178)/7 = 1,85
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,85) − Φ(−1,5) = 0,9678 − 0,06681 = 0,901
Antwoord
P = 0,901
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8264
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02121 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,02)/0,02121 = −0,94
Kansrekening
P = 1 − Φ(−0,94) = 0,8264
Antwoord
P = 0,8264
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 12,99
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(36/36) = 1,191
Nieuwe marge
E₂ = 10,9·1,191 = 12,99
Antwoord
E₂ = 12,99
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 30
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,96·11/4)² = 29,05
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 30
Antwoord
n = 30
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = 2,207
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standaardfout van het verschil
SE = √(13²/100 + 18²/30) = √12,49 = 3,534
Toetsingsgrootheid
z = (83 − 75,2)/3,534 = 2,207
Antwoord
z = 2,207
|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 77
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,645·8/1,5)² = 76,97
Naar boven afronden
n = 77
Antwoord
n = 77
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9685
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 5531 − 110·239/5 = 273
Sxx = 2510 − 110²/5 = 90
Syy = 12307 − 239²/5 = 882,8
Correlatiecoëfficiënt
r = 273/√(90·882,8) = 0,9685
Antwoord
r = 0,9685
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −3,4
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 114/6 = 19
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168
Regressielijn
b = 168/70 = 2,4
a = 19 − 2,4·7 = 2,2
ŷ = 2,2 + 2,4·x
Voorspelde waarde
ŷ = 2,2 + 2,4·3 = 9,4
Residu
e = 6 − 9,4 = −3,4
Antwoord
e = −3,4
Het punt ligt onder de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.