Je belegt €5 000 tegen een nominale rente van 6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 8 jaar.
PV = €5 0006% / 4n = 8
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 28 jaar lang aan het eind van elke maand €500. De rekening geeft 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €5003,6% / 12N = 336
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €50 000 en levert 5 jaar lang aan het eind van elk jaar €15 000 op. De vermogenskosten zijn 12 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €10 500, €13 000, €10 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −20 000CF1 = 10 500CF2 = 13 000CF3 = 10 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 5% en loopt over 10 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 3% naar 4%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 5%n = 10y1 = 3%y2 = 4%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement is 6%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 7%n = 4YTM = 6%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,4 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,2. Ze wil die verhouding verhogen tot 0,6. Het belastingtarief is 30%, de risicovrije rente 1% en de marktrisicopremie 6,5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 29, 57, 42, 29, 14.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 25. Bereken de z-score z van een score van 531,3.
μ = 500σ = 25x = 531,3
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,3, 0,3, 0,2
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 8 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,3. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 8p = 0,3
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,3545 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,3545
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 90% ervan ligt (het 90e percentiel).
μ = 32σ = 6P = 90%
x = min
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 9 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 6,6 en standaardafwijking 1,6. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 9d̄ = 6,6sd = 1,699%t(8) = 3,355
bovengrens = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 30 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 6 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 29 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 16,047 en 2,5% boven 45,722.
Een steekproef van 36 studenten heeft een gemiddelde score van 114,8 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.
Een steekproef van 16 metingen heeft gemiddelde 45. De standaardafwijking van de populatie is 8. Bereken de ondergrens L van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 45σ = 8n = 1699%
L =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (9, 42) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 5(9, 42)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 8052 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = r/m = 0,06/4 = 0,015
N = m·n = 4·8 = 32
Eindwaarde
FV = 5 000·(1 + 0,015)32 = 5 000·1,61 = €8 051,62
Antwoord
FV = €8 051,62
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 289331 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 15 000/1,12 = 13 392,86 → Σ = 13 392,86
jaar 2: 15 000/1,254 = 11 957,91 → Σ = 25 350,77
jaar 3: 15 000/1,405 = 10 676,70 → Σ = 36 027,47
jaar 4: 15 000/1,574 = 9 532,77 → Σ = 45 560,24
jaar 5: 15 000/1,762 = 8 511,40 → Σ = 54 071,64
Fractie van het laatste jaar
DPB = 4 + 4 439,76/8 511,40 = 4,522
Antwoord
DPB = 4,522 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (3,333 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 31,14 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(30%) = 320,89
NPV(35%) = −1 024,74
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 70/1,06 = 66,04, t·PV = 66,04
t = 2: 70/1,124 = 62,30, t·PV = 124,60
t = 3: 70/1,191 = 58,77, t·PV = 176,32
t = 4: 1070/1,262 = 847,54, t·PV = 3 390,16
Duration
P = 1 034,65
D = 3 757,12/1 034,65 = 3,631
Antwoord
D = 3,631 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,207 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1,4/(1 + 0,7·0,2) = 1,228
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 1,228·(1 + 0,7·0,6) = 1,744
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 1% + 1,744·6,5% = 12,34%
Antwoord
re = 12,34%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 16,15
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (531,3 − 500)/25 = 1,25
Antwoord
z = 1,25
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 10,25
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,78 = 0,05765
P(X = 1) = 8·0,3·0,77 = 0,1977
Tel ze op
P = 0,05765 + 0,1977 = 0,2553
Antwoord
P = 0,2553
13.Normale verdeling
Antwoord: z = 0,46
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = (1 + 0,3545)/2 = 0,6772
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,6772 in de tabel en lees z af.
z = 0,46
Antwoord
z = 0,46
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 39,69 min
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Terug naar x
x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min
Antwoord
x = 39,69 min
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 8,389 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 8, t = 3,355
Foutmarge
E = 3,355·1,6/√9 = 1,789
Interval
6,6 ± 1,789 → [4,811, 8,389]
Antwoord
bovengrens = 8,389 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 4,778 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 29·6² = 1044
Grenzen voor σ²
1044/45,722 = 22,83
1044/16,047 = 65,06
Grens voor σ
σ = √22,83 = 4,778 µm
Antwoord
σ = 4,778 µm
95%-interval voor σ: [4,778, 8,066] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −3,12
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
Toetsingsgrootheid
t = (114,8 − 120)/1,667 = −3,12
Antwoord
t = −3,12
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: L = 39,85
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 2,576·8/√16 = 5,152
Intervalgrens
L = 45 − 5,152 = 39,85
Antwoord
L = 39,85
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9344
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 110/5 = 22
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 90
Determinatiecoëfficiënt
r² = −29²/(10·90) = 0,9344
Antwoord
r² = 0,9344
Ongeveer 93,44% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = 4,8
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 120/5 = 24
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 176
Regressielijn
b = 176/40 = 4,4
a = 24 − 4,4·6 = −2,4
ŷ = −2,4 + 4,4·x
Voorspelde waarde
ŷ = −2,4 + 4,4·9 = 37,2
Residu
e = 42 − 37,2 = 4,8
Antwoord
e = 4,8
Het punt ligt boven de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.