Je belegt €20 000 tegen 3 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 15 jaar.
PV = €20 000r = 3%t = 15
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €20 000 wordt in 7 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
P = €20 0004,2% / 12N = 84
I = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €30 000, gaat 5 jaar mee en kost €1 500 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €30 000M = €1 500n = 5r = 12%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €14 000, €16 500, €17 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 14 000CF2 = 16 500CF3 = 17 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 7 jaar af. Het effectieve rendement is 6% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 6%n = 7
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 6 jaar af. Ze wordt verkocht voor €1 055. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 4% (2×)n = 6P = €1 055
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 0,6 heeft een vereist rendement van 5,4%. De risicovrije rente is 1,5%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 0,6re = 5,4%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen die noteren op €52,50; de boekwaarde van het eigen vermogen is €126 000 000. Ze heeft net een dividend van €2,30 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 4% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €168 000 000 en kosten vóór belasting van 6%. Het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 60, 53, 20, 51, 57.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 20. Bereken de z-score z van een score van 210.
μ = 170σ = 20x = 210
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 4 personen kiezen uit een groep van 6? De volgorde doet er niet toe.
n = 6k = 4
N =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €1 inzet. Je wint €2 met kans 0,15 en €50 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €1€2: p = 0,15€50: p = 0,01
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
De massa's van zakken cement zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 kg en standaardafwijking 0,5 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 8 ervan kleiner is dan 201,4 kg. Rond z af op twee decimalen.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 8< 201.4 kg
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,02 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 6 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 8,8 en standaardafwijking 3,8. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 6d̄ = 8,8sd = 3,899%t(5) = 4,032
ondergrens = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 27. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?
16 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is −4,16 en de standaardafwijking van de verschillen is 4,5. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft? De standaardafwijking is 5. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 5E = 1,595%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (9, 69) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 6(9, 69)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 31366 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,03·15 = 0,45
e0,45 = 1,568
Eindwaarde
FV = 20 000·1,568 = €31 366,24
Antwoord
FV = €31 366,24
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: I = 3119 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandbedrag
i = 0,0035, N = 84
A = 20 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)−84) = €275,22
Totale rente
I = N·A − P = 84·275,2 − 20 000 = €3 118,58
Antwoord
I = €3 118,58
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 9822 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,12−5)/0,12 = 3,605
Aanschafprijs omgerekend per jaar
30 000/3,605 = 8 322,29
EAC
EAC = 8 322,29 + 1 500 = €9 822,29
Antwoord
EAC = €9 822,29
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 39,38 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(35%) = 1 536,61
NPV(40%) = −204,08
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, i = 0,03, N = 14
Contante waarde van de coupons
€15,00·(1 − 0,6611)/0,03 = €169,44
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,6611 = €661,12
Koers
P = €830,56
Antwoord
P = €830,56
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 2,992 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €20,00, N = 12
Los numeriek op
i = 1,496% per halfjaar
YTM
YTM = 2·1,496% = 2,992%
Antwoord
YTM = 2,992%
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 8 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (5,4% − 1,5%)/0,6 = 6,5%
Marktrendement
rm = 1,5% + 6,5% = 8%
Antwoord
rm = 8%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,887 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (210 − 170)/20 = 2
Antwoord
z = 2
11.Kansrekening
Antwoord: N = 15
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaties
C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15
Antwoord
N = 15
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = −0,2 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 1 (p = 0,15), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,84)
Verwachtingswaarde
E(G) = 1·0,15 + 49·0,01 − 1·0,84 = −0,2 €
Antwoord
E(G) = −0,2 €
Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8389
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het totaal
μT = 200 kg, σT = 0,5·√8 = 1,414 kg
Standaardiseren
z = (201,4 − 200)/1,414 = 0,99
Kansrekening
P = Φ(0,99) = 0,8389
Antwoord
P = 0,8389
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8133
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89
Kansrekening
P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133
Antwoord
P = 0,8133
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 2,545 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 5, t = 4,032
Foutmarge
E = 4,032·3,8/√6 = 6,255
Interval
8,8 ± 6,255 → [2,545, 15,06]
Antwoord
ondergrens = 2,545 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 1973
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·27/1)² = 1973
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 1973
Antwoord
n = 1973
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −3,698
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standaardfout van het gemiddelde verschil
SE = 4,5/√16 = 1,125
Toetsingsgrootheid
t = −4,16/1,125 = −3,698
Antwoord
t = −3,698
Bij df = 15 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,131; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 43
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,96·5/1,5)² = 42,68
Naar boven afronden
n = 43
Antwoord
n = 43
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9966
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 367/5 = 73,4
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 278
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1945
Correlatiecoëfficiënt
r = 278/√(40·1945) = 0,9966
Antwoord
r = 0,9966
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = 4,371
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 336/6 = 56
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 302
Regressielijn
b = 302/70 = 4,314
a = 56 − 4,314·7 = 25,8
ŷ = 25,8 + 4,314·x
Voorspelde waarde
ŷ = 25,8 + 4,314·9 = 64,63
Residu
e = 69 − 64,63 = 4,371
Antwoord
e = 4,371
Het punt ligt boven de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.