Een creditcard rekent een nominale rente van 15 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.
r = 15%m = 12
EAR = %
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je stort 25 jaar lang aan het begin van elk jaar €1 000, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 6 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 25 op de rekening? Bereken FV.
A = €1 000i = 6%n = 25
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €12 000, €14 000, €14 000, €11 000. De vermogenskosten zijn 7,000000000000001 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Project A kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €22 000, €16 000, €9 000 op. Project B kost €42 000 en levert €10 500, €16 500, €23 000 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 11 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 370 als het effectieve rendement 3% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 11P = €1 370YTM = 3%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 8% loopt over 4 jaar af en wordt verkocht voor €1 070. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 8%n = 4P = €1 070
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 0,6. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 5% en het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
D/E = 0,6re = 8%rd = 5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,2 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,5. Ze wil die verhouding verhogen tot 0,6. Het belastingtarief is 30%, de risicovrije rente 2% en de marktrisicopremie 6%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 31, 26, 21, 13, 55, 21, 17.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 12. Bereken de z-score z van een score van 75.
μ = 60σ = 12x = 75
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Een zak bevat 5 rode en 7 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?
5 / 7
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €2 inzet. Je wint €6 met kans 0,15 en €100 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €2€6: p = 0,15€100: p = 0,02
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0721 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,0721
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 5% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 65 puntenσ = 10 punten5%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 60 telefoons, gemiddelde 62,5 h, bekende standaardafwijking 13 h. Model 2: 40 telefoons, gemiddelde 50,5 h, bekende standaardafwijking 11 h. Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 5 proefvelden, gemiddelde opbrengst 62 kg, standaardafwijking 8,5 kg. Groep 2: 7 proefvelden, gemiddelde 58 kg, standaardafwijking 7 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Een steekproef van 16 studenten heeft een gemiddelde score van 76,2 en een steekproefstandaardafwijking van 4. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 75.
Een steekproef van 49 metingen heeft gemiddelde 98,9. De standaardafwijking van de populatie is 15. Bereken de bovengrens U van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 98,9σ = 15n = 4995%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5Σx = 35Σy = 189Σx² = 285Σy² = 7309Σxy = 1401
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 1,5.
n = 6x = 1,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: EAR = 16,08 %
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente per periode
r/m = 0,15/12 = 0,0125
Samenstellen over één jaar
EAR = (1 + 0,0125)12 − 1 = 1,161 − 1 = 16,08%
Antwoord
EAR = 16,08%
De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 58156 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Gewone annuïteitsfactor
((1 + 0,06)25 − 1)/0,06 = 54,86
Prenumerando annuïteit
Elke storting staat een jaar langer uit.
FV = 1 000·54,86·1,06 = €58 156,38
Antwoord
FV = €58 156,38
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −1737 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 12 000/1,07 = 11 214,95
CF2/(1 + 0,07)2 = 14 000/1,145 = 12 228,14
CF3/(1 + 0,07)3 = 14 000/1,225 = 11 428,17
CF4/(1 + 0,07)4 = 11 000/1,311 = 8 391,85
Optellen
NPV = €−1 736,89
Antwoord
NPV = €−1 736,89
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: r* = 3,436 %
Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.
Verschil in kasstromen
ΔCF0 = −42 000 − (−40 000) = −2 000
ΔCF1 = 10 500 − 22 000 = −11 500
ΔCF2 = 16 500 − 16 000 = 500
ΔCF3 = 23 000 − 9 000 = 14 000
IRR van het verschil
NPVΔ(3%) = 118,23
NPVΔ(4%) = −149,47
r* = 3,436%
Antwoord
r* = 3,436%
Controle: bij 3,436% zijn beide NCW’s €4 356,42.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 6,999 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,03)−11 = €722,42
Coupon
C = (1370 − 722,42)/9,253 = €69,99
Couponrente
c = 69,99/1000 = 6,999%
Antwoord
c = 6,999%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 5,981 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 070 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Los numeriek op
P(5%) = €1 106,38, P(6%) = €1 069,30
YTM = 5,981%
Antwoord
YTM = 5,981%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten uit D/E
E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625
D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375
WACC
WACC = 0,625·8% + 0,375·5%·(1 − 0,2) = 6,5%
Antwoord
WACC = 6,5%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 9,573 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1,2/(1 + 0,7·0,5) = 0,8889
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 0,8889·(1 + 0,7·0,6) = 1,262
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2% + 1,262·6% = 9,573%
Antwoord
re = 9,573%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 13,94
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (75 − 60)/12 = 1,25
Antwoord
z = 1,25
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,1515
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Eerste en tweede trekking
P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0,1515
Antwoord
P = 0,1515
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = 0,9 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 4 (p = 0,15), 98 (p = 0,02), −2 (p = 0,83)
Verwachtingswaarde
E(G) = 4·0,15 + 98·0,02 − 2·0,83 = 0,9 €
Antwoord
E(G) = 0,9 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: z = 1,46
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,0721 = 0,9279
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,9279 in de tabel en lees z af.
z = 1,46
Antwoord
z = 1,46
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 48,6 punten
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,05
z uit de tabel
z ≈ −1,64
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 65 − 1,64·10 = 48,6 punten
Antwoord
x = 48,6 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 6,226 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 62,5 − 50,5 = 12
Standaardfout
SE = √(13²/60 + 11²/40) = 2,417
Foutmarge
E = 2,576·2,417 = 6,226
Antwoord
E = 6,226 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 13,96 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (4·8,5² + 6·7²)/10 = 58,3
sp = 7,635
Foutmarge
E = 2,228·7,635·√(1/5 + 1/7) = 9,961
Interval
4 ± 9,961 → [−5,961, 13,96]
Antwoord
bovengrens = 13,96 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 1,2
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
Toetsingsgrootheid
t = (76,2 − 75)/1 = 1,2
Antwoord
t = 1,2
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 103,1
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,96·15/√49 = 4,2
Intervalgrens
U = 98,9 + 4,2 = 103,1
Antwoord
U = 103,1
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9607
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 1401 − 35·189/5 = 78
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 7309 − 189²/5 = 164,8
Correlatiecoëfficiënt
r = 78/√(40·164,8) = 0,9607
Antwoord
r = 0,9607
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 21,96
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 117/6 = 19,5
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21,5
Regressielijn
b = −21,5/17,5 = −1,229
a = 19,5 − (−1,229)·3,5 = 23,8
ŷ = 23,8 − 1,229·x
Voorspelling
ŷ = 23,8 + (−1,229)·1,5 = 21,96
Antwoord
ŷ = 21,96
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.