Je belegt €8 000 tegen een nominale rente van 3,6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 3 jaar.
PV = €8 0003,6% / 4n = 3
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €200 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 10? Bereken de restschuld B.
P = €200 0005,4% / 12N = 360k = 120
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €31 000, €24 000, €20 000. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Project A kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €23 000, €14 500, €9 500 op. Project B kost €45 000 en levert €12 500, €17 000, €25 000 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4,5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Het effectieve rendement is 2,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 4,5%YTM = 2,5%n = 11
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 17 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 9%) wordt verkocht voor €1 091. De uitgever kan haar over 5 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 090. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 9%P = €1 091aflossingsprijs = €1 090vervroegd aflosbaar over 5 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €10 000 000, preferente aandelen ter waarde van €500 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van de preferente aandelen 6% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4,5%. Het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €12 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 13%. Het vreemd vermogen bestaat uit 8 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 6%, resterende looptijd 11 jaar) die elk op €925 noteren. Het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 32, 47, 60, 46, 51, 25, 36.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt onder 82?
μ = 70σ = 20x = 82
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,05, 0,35, 0,25
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €2 inzet. Je wint €8 met kans 0,25 en €40 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €2€8: p = 0,25€40: p = 0,02
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,6217 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,6217
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 97,5% ervan ligt (het 97,5e percentiel).
μ = 65σ = 10P = 97,5%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 9 items heeft gemiddelde 44,5 en standaardafwijking s = 4,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 9x̄ = 44,5s = 4,595%t(8) = 2,306
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 33. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2,5 heeft?
Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 30 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 50,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 20 mm. Lijn 2: een steekproef van 100 onderdelen heeft gemiddelde 39,3 mm, bekende standaardafwijking 20 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft? De standaardafwijking is 5. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 5E = 195%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 19?
n = 6ŷ = 19
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 8908 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 360 − 120 = 240
B = 1123·(1 − (1 + 0,0045)−240)/0,0045 = €164 611,06
Antwoord
B = €164 611,06
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −9844 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 31 000/1,08 = 28 703,70
CF2/(1 + 0,08)2 = 24 000/1,166 = 20 576,13
CF3/(1 + 0,08)3 = 20 000/1,26 = 15 876,64
Optellen
NPV = €−9 843,52
Antwoord
NPV = €−9 843,52
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: r* = 7,076 %
Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.
Verschil in kasstromen
ΔCF0 = −45 000 − (−40 000) = −5 000
ΔCF1 = 12 500 − 23 000 = −10 500
ΔCF2 = 17 000 − 14 500 = 2 500
ΔCF3 = 25 000 − 9 500 = 15 500
IRR van het verschil
NPVΔ(7%) = 23,13
NPVΔ(8%) = −274,48
r* = 7,076%
Antwoord
r* = 7,076%
Controle: bij 7,076% zijn beide NCW’s €1 865,13.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1191 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €22,50, i = 0,0125, N = 22
Contante waarde van de coupons
€22,50·(1 − 0,7609)/0,0125 = €430,44
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,7609 = €760,87
Koers
P = €1 191,31
Antwoord
P = €1 191,31
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTC = 8,234 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1091 = 90·(1 − (1 + y)−5)/y + 1090/(1 + y)5
Los numeriek op
y = 8%: €1 101,18
y = 9%: €1 058,49
YTC = 8,234%
Antwoord
YTC = 8,234%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 8,002%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 9,112 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten van het vreemd vermogen (YTM)
925 = 60·(1 − (1 + y)−11)/y + 1000/(1 + y)11
y = 7%
Marktwaarden
D = 8 000·€925 = €7 400 000
V = €19 400 000, E/V = 0,6186, D/V = 0,3814
WACC
WACC = 0,6186·13% + 0,3814·7%·(1 − 0,21) = 10,15%
Antwoord
WACC = 10,15%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 12,04
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 0,6
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Antwoord
P = 0,7257
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 12,04
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 6 (p = 0,25), 38 (p = 0,02), −2 (p = 0,73)
Verwachtingswaarde
E(G) = 6·0,25 + 38·0,02 − 2·0,73 = 0,8 €
Antwoord
E(G) = 0,8 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: z = −0,31
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,6217 = 0,3783
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,3783 in de tabel en lees z af.
z = −0,31
Antwoord
z = −0,31
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 84,6 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Terug naar x
x = 65 + 1,96·10 = 84,6 punten
Antwoord
x = 84,6 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 41,04
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Foutmarge
E = 2,306·4,5/√9 = 3,459
Interval
44,5 ± 3,459 → [41,04, 47,96]
Antwoord
ondergrens = 41,04
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 472
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·33/2,5)² = 471,5
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 472
Antwoord
n = 472
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = 2,69
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standaardfout van het verschil
SE = √(20²/30 + 20²/100) = √17,33 = 4,163
Toetsingsgrootheid
z = (50,5 − 39,3)/4,163 = 2,69
Antwoord
z = 2,69
|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 97
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,96·5/1)² = 96,04
Naar boven afronden
n = 97
Antwoord
n = 97
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9618
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 262/5 = 52,4
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102
Syy = Σ(y − ȳ)² = 281,2
Correlatiecoëfficiënt
r = 102/√(40·281,2) = 0,9618
Antwoord
r = 0,9618
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 3,969
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 121/6 = 20,17
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43,5
Regressielijn
b = −43,5/17,5 = −2,486
a = 20,17 − (−2,486)·3,5 = 28,87
ŷ = 28,87 − 2,486·x
Los op naar x
x = (19 − 28,87)/(−2,486) = 3,969
Antwoord
x = 3,969
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.