Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 5 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 9 jaar.
PV = €2 0005% / 12n = 9
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 10 jaar lang aan het eind van elke maand €100. De rekening geeft 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €1004,8% / 12N = 120
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €20 000 en levert 6 jaar lang aan het eind van elk jaar €7 500 op. De vermogenskosten zijn 10 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €5 500, €7 500, €5 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 7 500CF3 = 5 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 10 jaar af. Het effectieve rendement is 3,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 3,5%n = 10
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 8%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 4%n = 3YTM = 8%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €4 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €1 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 000 000 aandelen van €42,00 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 28%. De bèta van het aandeel is 0,9, de risicovrije rente 1,5% en het marktrendement 6%. Bereken de WACC.
β = 0,9rf = 1,5%rm = 6%rd = 3,5%T = 28%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 38, 18, 37, 43, 30, 23.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt boven 155?
μ = 170σ = 15x = 155
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,25, 0,2, 0,2
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
X heeft de getoonde verdeling, en Y = 5X + 4. Bepaal de standaardafwijking σY van Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 5X + 4
σY =
13.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 60 s en standaardafwijking 5 s; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 45 s en standaardafwijking 4 s. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 110,1 s. Rond z af op twee decimalen.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 110,1 s
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 25% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 500 hσ = 40 h25%
x = h
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 60 telefoons, gemiddelde 83 h, bekende standaardafwijking 11 h. Model 2: 30 telefoons, gemiddelde 88 h, bekende standaardafwijking 18 h. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Over de fractie defecte producten is vooraf niets bekend. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,01 heeft?
Een steekproef van 36 studenten heeft een gemiddelde score van 201,4 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 4 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 15. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 1,5.
n = 5x = 1,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 3134 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 7 500/1,1 = 6 818,18 → Σ = 6 818,18
jaar 2: 7 500/1,21 = 6 198,35 → Σ = 13 016,53
jaar 3: 7 500/1,331 = 5 634,86 → Σ = 18 651,39
jaar 4: 7 500/1,464 = 5 122,60 → Σ = 23 773,99
Fractie van het laatste jaar
DPB = 3 + 1 348,61/5 122,60 = 3,263
Antwoord
DPB = 3,263 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (2,667 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 38,13 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(35%) = 424,73
NPV(40%) = −240,52
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 35 + 5·424,73/(424,73 − (−240,52)) = 38,19%
exact: NPV(38,13%) = 0 → IRR = 38,13%
Antwoord
IRR = 38,13%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1293 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €35,00, i = 0,0175, N = 20
Contante waarde van de coupons
€35,00·(1 − 0,7068)/0,0175 = €586,35
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,7068 = €706,82
Koers
P = €1 293,18
Antwoord
P = €1 293,18
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: D = 2,879 jaar
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 40/1,08 = 37,04, t·PV = 37,04
t = 2: 40/1,166 = 34,29, t·PV = 68,59
t = 3: 1040/1,26 = 825,59, t·PV = 2 476,76
Duration
P = 896,92
D = 2 582,38/896,92 = 2,879
Antwoord
D = 2,879 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,519 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·10% + 0,2·3,5%·(1 − 0,258) = 8,519%
Antwoord
WACC = 8,519%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 4,586 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 1,288
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,2 + 4·0,2 = 2,25
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,2 + 16·0,2 = 6,35
Variantie
Var(X) = 6,35 − 2,25² = 1,288
Antwoord
Var(X) = 1,288
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 4,183
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standaardiseren
z = (110,1 − 105)/6,403 = 0,8
Rechterstaart
P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119
Antwoord
P = 0,2119
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 527 h
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,75
z uit de tabel
z ≈ 0,67
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 500 + 0,67·40 = 527 h
Antwoord
x = 527 h
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −10,89 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 83 − 88 = −5
Standaardfout
SE = √(11²/60 + 18²/30) = 3,58
Foutmarge
E = 1,645·3,58 = 5,889
Interval
−5 ± 5,889 → [−10,89, 0,8892]
Antwoord
ondergrens = −10,89 h
Het interval bevat 0, dus de data laten geen significant verschil zien.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 9604
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n oplossen
n = 1,96²·0,5·0,5/0,01² = 9604
Naar boven afronden
n = 9604
Antwoord
n = 9604
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 1,68
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333
Toetsingsgrootheid
t = (201,4 − 200)/0,8333 = 1,68
Antwoord
t = 1,68
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 87
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((1,645 + 0,842)·15/4)² = 86,98
Naar boven afronden
n = 87
Antwoord
n = 87
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,7944
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 1458 − 25·284/5 = 38
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 16360 − 284²/5 = 228,8
Correlatiecoëfficiënt
r = 38/√(10·228,8) = 0,7944
Antwoord
r = 0,7944
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 51,5
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 286/5 = 57,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38
Regressielijn
b = 38/10 = 3,8
a = 57,2 − 3,8·3 = 45,8
ŷ = 45,8 + 3,8·x
Voorspelling
ŷ = 45,8 + 3,8·1,5 = 51,5
Antwoord
ŷ = 51,5
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.