Je belegt €20 000 tegen een nominale rente van 3 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 4 jaar.
PV = €20 0003% / 4n = 4
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €15 000 tegen 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €675 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €15 000A = €6754,2% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €100 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €4 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 4 % per jaar. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €100 000CF1 = €4 000g = 4%r = 9%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost vandaag €200 000. De kasstroom is €30 000 aan het eind van jaar 1 en groeit met 5 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 6. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €200 000CF1 = €30 000g = 5%n = 6r = 10%
NPV = €
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 5 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 046 als het effectieve rendement 3% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 5P = €1 046YTM = 3%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 12 jaar af. Ze wordt verkocht voor €1 131. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 7% (2×)n = 12P = €1 131
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €3 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €1 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen die noteren op €25,50; de boekwaarde van het eigen vermogen is €30 600 000. Ze heeft net een dividend van €2,90 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 5% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €30 600 000 en kosten vóór belasting van 4%. Het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 14, 56, 36, 25, 45, 36.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 15. Bereken de z-score z van een score van 82.
μ = 100σ = 15x = 82
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 4 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 4
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €10 inzet. Je wint €20 met kans 0,2 en €200 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €10€20: p = 0,2€200: p = 0,05
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 4 g; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 500 g en standaardafwijking 9 g. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 745,1 g. Rond z af op twee decimalen.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 745,1 g
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,04 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 20 items heeft gemiddelde 63,5 en standaardafwijking s = 1,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 20x̄ = 63,5s = 1,595%t(19) = 2,093
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 24. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?
Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 9 studenten, gemiddelde score 27, standaardafwijking 11. Groep 2: 8 studenten, gemiddelde score 20,5, standaardafwijking 5,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft? De standaardafwijking is 15. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 15E = 0,595%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 65?
n = 6ŷ = 65
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 22540 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0,0035/675 = 0,9222
Los op met logaritmen
N = −ln(0,9222)/ln(1,004) = 23,17
Rond naar boven af op hele betalingen
23 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 24
Antwoord
N = 24 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −20000 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 4 000/(0,09 − 0,04) = 80 000,00
NPV
NPV = 80 000,00 − 100 000 = −€20 000,00
Antwoord
NPV = −€20 000,00
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −53869 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 4,004 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,03)−5 = €862,61
Coupon
C = (1046 − 862,61)/4,58 = €40,04
Couponrente
c = 40,04/1000 = 4,004%
Antwoord
c = 4,004%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 5,495 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €35,00, N = 24
Los numeriek op
i = 2,747% per halfjaar
YTM
YTM = 2·2,747% = 5,495%
Antwoord
YTM = 5,495%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,79 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·11% + 0,25·3%·(1 − 0,28) = 8,79%
Antwoord
WACC = 8,79%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 13,77 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (82 − 100)/15 = −1,2
Antwoord
z = −1,2
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,5177
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Antwoord
P = 0,5177
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = 4 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 10 (p = 0,2), 190 (p = 0,05), −10 (p = 0,75)
Verwachtingswaarde
E(G) = 10·0,2 + 190·0,05 − 10·0,75 = 4 €
Antwoord
E(G) = 4 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,6915
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standaardiseren
z = (745,1 − 750)/9,849 = −0,5
Rechterstaart
P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915
Antwoord
P = 0,6915
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,9868
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22
Kansrekening
P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868
Antwoord
P = 0,9868
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 62,8
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Foutmarge
E = 2,093·1,5/√20 = 0,702
Interval
63,5 ± 0,702 → [62,8, 64,2]
Antwoord
ondergrens = 62,8
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 3823
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·24/1)² = 3822
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 3823
Antwoord
n = 3823
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 1,508
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolde variantie
sp² = (8·11² + 7·5,5²)/15 = 78,65
sp = 8,868
Standaardfout
SE = 8,868·√(1/9 + 1/8) = 4,309
Toetsingsgrootheid
t = (27 − 20,5)/4,309 = 1,508
Antwoord
t = 1,508
Bij df = 15 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,131; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 3458
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,96·15/0,5)² = 3457
Naar boven afronden
n = 3458
Antwoord
n = 3458
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9888
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 355/5 = 71
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 369
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1530
Determinatiecoëfficiënt
r² = 369²/(90·1530) = 0,9888
Antwoord
r² = 0,9888
Ongeveer 98,88% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 5,613
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 386/6 = 64,33
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 103
Regressielijn
b = 103/17,5 = 5,886
a = 64,33 − 5,886·5,5 = 31,96
ŷ = 31,96 + 5,886·x
Los op naar x
x = (65 − 31,96)/5,886 = 5,613
Antwoord
x = 5,613
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.