Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €20 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 1,5 % per jaar. Het vereiste rendement is 3,5 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €20 000g = 1,5%r = 3,5%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €200 000 wordt in 20 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €200 0002,4% / 12N = 240
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €6 000, €7 000, €9 000, €8 000. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost vandaag €80 000. De kasstroom is €14 500 aan het eind van jaar 1 en groeit met 2 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 5. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €80 000CF1 = €14 500g = 2%n = 5r = 12%
NPV = €
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Het effectieve rendement is 8% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 5%YTM = 8%n = 11
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 6% loopt over 9 jaar af en wordt verkocht voor €1 110. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 9P = €1 110
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €4 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €1 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.
E = €4 000 000D = €1 000 000re = 9%rd = 7%T = 30%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 0,9 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,5. Ze wil die verhouding verhogen tot 1,5. Het belastingtarief is 20%, de risicovrije rente 3,5% en de marktrisicopremie 6,5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 21, 15, 34, 23, 26.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 5. Bereken de z-score z van een score van 173.
μ = 170σ = 5x = 173
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,35, 0,2, 0,2
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 7 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,2. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?
n = 7p = 0,2k = 3
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Welk deel ligt tussen 440 en 582 h? Geef P als decimaal getal.
μ = 500σ = 40x1 = 440x2 = 582
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 80% ervan ligt (het 80e percentiel).
μ = 65σ = 10P = 80%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 9 items heeft gemiddelde 111 en standaardafwijking s = 13,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 9x̄ = 111s = 13,595%t(8) = 2,306
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 24 proefvelden, gemiddelde opbrengst 16 kg, standaardafwijking 5 kg. Groep 2: 7 proefvelden, gemiddelde 27 kg, standaardafwijking 8,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Een steekproef van 36 studenten heeft een gemiddelde score van 208 en een steekproefstandaardafwijking van 20. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft? De standaardafwijking is 20. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 20E = 195%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 65?
n = 6ŷ = 65
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 1 × 10⁶ €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·20 = 240
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,6191
A = 200 000·0,002/(1 − 0,6191) = €1 050,09
Antwoord
A = €1 050,09
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 2428 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 6 000/1,12 = 5 357,14
CF2/(1 + 0,12)2 = 7 000/1,254 = 5 580,36
CF3/(1 + 0,12)3 = 9 000/1,405 = 6 406,02
CF4/(1 + 0,12)4 = 8 000/1,574 = 5 084,14
Optellen
NPV = €2 427,67
Antwoord
NPV = €2 427,67
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −25840 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 783,2 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €25,00, i = 0,04, N = 22
Contante waarde van de coupons
€25,00·(1 − 0,422)/0,04 = €361,28
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,422 = €421,96
Koers
P = €783,23
Antwoord
P = €783,23
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 4,488 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 110 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Los numeriek op
P(4%) = €1 148,71, P(5%) = €1 071,08
YTM = 4,488%
Antwoord
YTM = 4,488%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,18 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·9% + 0,2·7%·(1 − 0,3) = 8,18%
Antwoord
WACC = 8,18%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 12,69 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 0,9/(1 + 0,8·0,5) = 0,6429
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 0,6429·(1 + 0,8·1,5) = 1,414
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3,5% + 1,414·6,5% = 12,69%
Antwoord
re = 12,69%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 6,979
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (173 − 170)/5 = 0,6
Antwoord
z = 0,6
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,062
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,2 + 4·0,2 = 2,35
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,2 + 16·0,2 = 6,65
Variantie
Var(X) = 6,65 − 2,35² = 1,127
σ = √1,127 = 1,062
Antwoord
σ = 1,062
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,1147
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (440 − 500)/40 = −1,5
z₂ = (582 − 500)/40 = 2,05
Oppervlakte ertussen
P = Φ(2,05) − Φ(−1,5) = 0,9798 − 0,06681 = 0,913
Antwoord
P = 0,913
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 73,42 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Terug naar x
x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 punten
Antwoord
x = 73,42 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 100,6
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Foutmarge
E = 2,306·13,5/√9 = 10,38
Interval
111 ± 10,38 → [100,6, 121,4]
Antwoord
ondergrens = 100,6
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −15,3 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (23·5² + 6·8,5²)/29 = 34,78
sp = 5,897
Foutmarge
E = 1,699·5,897·√(1/24 + 1/7) = 4,304
Interval
−11 ± 4,304 → [−15,3, −6,696]
Antwoord
ondergrens = −15,3 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 2,4
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333
Toetsingsgrootheid
t = (208 − 200)/3,333 = 2,4
Antwoord
t = 2,4
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 1537
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,96·20/1)² = 1537
Naar boven afronden
n = 1537
Antwoord
n = 1537
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9956
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 2608 − 35·336/5 = 256
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 24232 − 336²/5 = 1653
Correlatiecoëfficiënt
r = 256/√(40·1653) = 0,9956
Antwoord
r = 0,9956
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 8,051
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 326/6 = 54,33
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 364
Regressielijn
b = 364/70 = 5,2
a = 54,33 − 5,2·6 = 23,13
ŷ = 23,13 + 5,2·x
Los op naar x
x = (65 − 23,13)/5,2 = 8,051
Antwoord
x = 8,051
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.