Je belegt €1 000 tegen 8 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 3 jaar.
PV = €1 000r = 8%t = 3
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €30 000 wordt in 6 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
P = €30 0006% / 12N = 72
I = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €50 000. Ze levert 7 jaar lang aan het eind van elk jaar €8 000 op en kan daarna voor €5 000 worden verkocht. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €50 000CF = €8 000S = €5 000n = 7r = 6%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €9 500, €11 500, €13 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 9 500CF2 = 11 500CF3 = 13 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 8 jaar af. Het effectieve rendement is 8% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 8%n = 8
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 9 jaar af en wordt verkocht voor €835. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 9P = €835
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €6 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 13%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen die noteren op €20,00; de boekwaarde van het eigen vermogen is €40 000 000. Ze heeft net een dividend van €2,30 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 5% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €30 000 000 en kosten vóór belasting van 5%. Het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 12, 36, 26, 23, 50, 32.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 12. Bereken de z-score z van een score van 84.
μ = 60σ = 12x = 84
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,15, 0,3, 0,2
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 7 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,6. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 7p = 0,6
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt tussen 29 en 38,3 min? Geef P als decimaal getal.
μ = 32σ = 6x1 = 29x2 = 38,3
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 25% ervan ligt (het 25e percentiel).
μ = 65σ = 10P = 25%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 13 items heeft gemiddelde 78 en standaardafwijking s = 3. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 13x̄ = 78s = 390%t(12) = 1,782
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 32. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft?
8 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 13,7 en de standaardafwijking van de verschillen is 10,2. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 15. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (7, 33) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 6(7, 33)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 1271 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,08·3 = 0,24
e0,24 = 1,271
Eindwaarde
FV = 1 000·1,271 = €1 271,25
Antwoord
FV = €1 271,25
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: I = 5797 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandbedrag
i = 0,005, N = 72
A = 30 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)−72) = €497,19
Totale rente
I = N·A − P = 72·497,2 − 30 000 = €5 797,44
Antwoord
I = €5 797,44
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −2016 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van de jaarlijkse kasstromen
8 000·5,582 = 44 659,05
Contante waarde van de restwaarde
5 000/1,504 = 3 325,29
NPV
NPV = −50 000 + 44 659,05 + 3 325,29 = −€2 015,66
Antwoord
NPV = −€2 015,66
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 16,88 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(15%) = 832,99
NPV(20%) = −1 284,72
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, i = 0,04, N = 16
Contante waarde van de coupons
€15,00·(1 − 0,5339)/0,04 = €174,78
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,5339 = €533,91
Koers
P = €708,69
Antwoord
P = €708,69
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 6,476 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€835 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Los numeriek op
P(6%) = €863,97, P(7%) = €804,54
YTM = 6,476%
Antwoord
YTM = 6,476%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 9,867 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €9 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·13% + 0,3333·5%·(1 − 0,28) = 9,867%
Antwoord
WACC = 9,867%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 14,06 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (84 − 60)/12 = 2
Antwoord
z = 2
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,152
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,2 = 2,35
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,2 = 6,85
Variantie
Var(X) = 6,85 − 2,35² = 1,328
σ = √1,328 = 1,152
Antwoord
σ = 1,152
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,01884
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,47 = 0,001638
P(X = 1) = 7·0,6·0,46 = 0,0172
Tel ze op
P = 0,001638 + 0,0172 = 0,01884
Antwoord
P = 0,01884
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,5446
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (29 − 32)/6 = −0,5
z₂ = (38,3 − 32)/6 = 1,05
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,05) − Φ(−0,5) = 0,8531 − 0,3085 = 0,5446
Antwoord
P = 0,5446
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 58,26 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Terug naar x
x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 punten
Antwoord
x = 58,26 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 76,52
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 12, t = 1,782
Foutmarge
E = 1,782·3/√13 = 1,483
Interval
78 ± 1,483 → [76,52, 79,48]
Antwoord
ondergrens = 76,52
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 1749
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,96·32/1,5)² = 1748
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 1749
Antwoord
n = 1749
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 3,799
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standaardfout van het gemiddelde verschil
SE = 10,2/√8 = 3,606
Toetsingsgrootheid
t = 13,7/3,606 = 3,799
Antwoord
t = 3,799
Bij df = 7 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,365; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 56
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((1,645 + 0,842)·15/5)² = 55,67
Naar boven afronden
n = 56
Antwoord
n = 56
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9929
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 593/6 = 98,83
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 751,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3637
Correlatiecoëfficiënt
r = 751,5/√(157,5·3637) = 0,9929
Antwoord
r = 0,9929
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = 5,167
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 167/6 = 27,83
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 249
Regressielijn
b = 249/70 = 3,557
a = 27,83 − 3,557·7 = 2,933
ŷ = 2,933 + 3,557·x
Voorspelde waarde
ŷ = 2,933 + 3,557·7 = 27,83
Residu
e = 33 − 27,83 = 5,167
Antwoord
e = 5,167
Het punt ligt boven de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.