Je belegt €1 000 tegen een nominale rente van 6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 4 jaar.
PV = €1 0006% / 12n = 4
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €250 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €250 0007,2% / 12N = 360
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €10 000, €4 000, €9 000, €4 000. De vermogenskosten zijn 15 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €12 000, €11 000, €15 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 12 000CF2 = 11 000CF3 = 15 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 12 jaar af. Het effectieve rendement is 4% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 2%YTM = 4%n = 12
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 7% loopt over 4 jaar af en wordt verkocht voor €950. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 7%n = 4P = €950
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €4 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.
De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 0,7. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 1 aan te houden. Het belastingtarief is 20%, de risicovrije rente 3,5% en de marktrisicopremie 4%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.
βU = 0,7D/E = 1T = 20%rf = 3,5%rm − rf = 4%
re = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 48, 15, 56, 49, 48, 57.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 10. Bereken de z-score z van een score van 72,5.
μ = 60σ = 10x = 72,5
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 4 personen kiezen uit een groep van 14? De volgorde doet er niet toe.
n = 14k = 4
N =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 7 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,3. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?
n = 7p = 0,3k = 1
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De massa's van bouten zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 40 g en standaardafwijking 1,2 g. Bepaal de kans P dat de totale massa van 8 ervan groter is dan 323,4 g. Rond z af op twee decimalen.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 8> 323,4 g
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 20% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 65 puntenσ = 10 punten20%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 13 items heeft gemiddelde 116 en standaardafwijking s = 8,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 13x̄ = 116s = 8,599%t(12) = 3,055
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 31. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 4 heeft?
Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 96,63 en een steekproefstandaardafwijking van 15. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 100.
Een steekproef van 16 metingen heeft gemiddelde 51,3. De standaardafwijking van de populatie is 10. Bereken de bovengrens U van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 51,3σ = 10n = 1699%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 6
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 60?
n = 6ŷ = 60
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 1270 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = r/m = 0,06/12 = 0,005
N = m·n = 12·4 = 48
Eindwaarde
FV = 1 000·(1 + 0,005)48 = 1 000·1,27 = €1 270,49
Antwoord
FV = €1 270,49
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 1697 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·30 = 360
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,1161
A = 250 000·0,006/(1 − 0,1161) = €1 696,97
Antwoord
A = €1 696,97
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −75,11 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 10 000/1,15 = 8 695,65
CF2/(1 + 0,15)2 = 4 000/1,322 = 3 024,57
CF3/(1 + 0,15)3 = 9 000/1,521 = 5 917,65
CF4/(1 + 0,15)4 = 4 000/1,749 = 2 287,01
Optellen
NPV = €−75,11
Antwoord
NPV = €−75,11
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 23,9 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(20%) = 1 608,80
NPV(25%) = −424,00
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €10,00, i = 0,02, N = 24
Contante waarde van de coupons
€10,00·(1 − 0,6217)/0,02 = €189,14
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,6217 = €621,72
Koers
P = €810,86
Antwoord
P = €810,86
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 8,527 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€950 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Los numeriek op
P(8%) = €966,88, P(9%) = €935,21
YTM = 8,527%
Antwoord
YTM = 8,527%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,6 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·6%·(1 − 0,3) = 7,6%
Antwoord
WACC = 7,6%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 8,54 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Bèta met hefboom
βL = 0,7·(1 + 0,8·1) = 1,26
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3,5% + 1,26·4% = 8,54%
Antwoord
re = 8,54%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 15,48
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (72,5 − 60)/10 = 1,25
Antwoord
z = 1,25
11.Kansrekening
Antwoord: N = 1001
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaties
C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001
Antwoord
N = 1001
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,2471
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binomiale formule
P(X = 1) = 7·0,31·0,76 = 7·0,3·0,1176 = 0,2471
Antwoord
P = 0,2471
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,1587
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het totaal
μT = 320 g, σT = 1,2·√8 = 3,394 g
Standaardiseren
z = (323,4 − 320)/3,394 = 1
Kansrekening
P = 1 − Φ(1) = 0,1587
Antwoord
P = 0,1587
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 56,6 punten
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,2
z uit de tabel
z ≈ −0,84
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 65 − 0,84·10 = 56,6 punten
Antwoord
x = 56,6 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 108,8
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Foutmarge
E = 3,055·8,5/√13 = 7,202
Interval
116 ± 7,202 → [108,8, 123,2]
Antwoord
ondergrens = 108,8
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 399
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·31/4)² = 398,6
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 399
Antwoord
n = 399
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −1,797
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875
Toetsingsgrootheid
t = (96,63 − 100)/1,875 = −1,797
Antwoord
t = −1,797
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 57,74
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 2,576·10/√16 = 6,44
Intervalgrens
U = 51,3 + 6,44 = 57,74
Antwoord
U = 57,74
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,959
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 100/6 = 16,67
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40
Syy = Σ(y − ȳ)² = 95,33
Determinatiecoëfficiënt
r² = −40²/(17,5·95,33) = 0,959
Antwoord
r² = 0,959
Ongeveer 95,9% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 4,945
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 422/6 = 70,33
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 352
Regressielijn
b = 352/70 = 5,029
a = 70,33 − 5,029·7 = 35,13
ŷ = 35,13 + 5,029·x
Los op naar x
x = (60 − 35,13)/5,029 = 4,945
Antwoord
x = 4,945
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.