Je belegt €12 000 tegen een nominale rente van 3,6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 3 jaar.
PV = €12 0003,6% / 4n = 3
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 6 jaar lang aan het eind van elke maand €250. De rekening geeft 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €2504,8% / 12N = 72
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €19 000, €26 000, €26 000. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €32 500, €31 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 32 500CF2 = 31 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 10 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 427 als het effectieve rendement 3% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 10P = €1 427YTM = 3%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 6% loopt over 10 jaar af en wordt verkocht voor €930. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 10P = €930
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 0,4. De kosten van het eigen vermogen zijn 13%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4,5% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
D/E = 0,4re = 13%rd = 4,5%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €49,00 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 1,5, de risicovrije rente 3,5% en het marktrendement 7,5%. Bereken de WACC.
β = 1,5rf = 3,5%rm = 7,5%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 58, 35, 41, 58, 16, 39.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 12. Bereken de z-score z van een score van 94.
μ = 70σ = 12x = 94
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 4 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 4
P =
12.KansrekeningMoeilijk
X heeft de getoonde verdeling, en Y = 3X + 5. Bepaal de standaardafwijking σY van Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,2, 0,35Y = 3X + 5
σY =
13.Normale verdelingGemiddeld
De massa's van bouten zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 40 g en standaardafwijking 1,2 g. Bepaal de kans P dat de totale massa van 8 ervan groter is dan 314,9 g. Rond z af op twee decimalen.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 8> 314,9 g
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Bereken de waarde x waaronder 10% ervan ligt (het 10e percentiel).
μ = 100σ = 15P = 10%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 7 items heeft gemiddelde 101,5 en standaardafwijking s = 10. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 7x̄ = 101,5s = 1095%t(6) = 2,447
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 37. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 100 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 7,5. Een aselecte steekproef van 25 waarnemingen heeft een gemiddelde van 102,97. Toets H₀: μ = 100 tegen H₁: μ > 100. Bereken de p-waarde p.
In een onderzoek herstellen 98 van de 150 patiënten met behandeling A en 95 van de 120 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 98n₁ = 150x₂ = 95n₂ = 120
z =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 4,5.
n = 5x = 4,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 13362 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 19 000/1,1 = 17 272,73
CF2/(1 + 0,1)2 = 26 000/1,21 = 21 487,60
CF3/(1 + 0,1)3 = 26 000/1,331 = 19 534,18
Optellen
NPV = €−16 705,48
Antwoord
NPV = €−16 705,48
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 17,68 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(15%) = 1 701,32
NPV(20%) = −1 388,89
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,03)−10 = €744,09
Coupon
C = (1427 − 744,09)/8,53 = €80,06
Couponrente
c = 80,06/1000 = 8,006%
Antwoord
c = 8,006%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 6,996 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€930 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Los numeriek op
P(6%) = €1 000,00, P(7%) = €929,76
YTM = 6,996%
Antwoord
YTM = 6,996%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 10,24 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (94 − 70)/12 = 2
Antwoord
z = 2
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,5177
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Antwoord
P = 0,5177
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 3,584
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het totaal
μT = 320 g, σT = 1,2·√8 = 3,394 g
Standaardiseren
z = (314,9 − 320)/3,394 = −1,5
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 80,78 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Terug naar x
x = 100 + −1,282·15 = 80,78 punten
Antwoord
x = 80,78 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 92,25
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 6, t = 2,447
Foutmarge
E = 2,447·10/√7 = 9,249
Interval
101,5 ± 9,249 → [92,25, 110,7]
Antwoord
ondergrens = 92,25
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 21037
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,96·37/0,5)² = 21037
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 21037
Antwoord
n = 21037
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,02385
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 7,5/√25 = 1,5
z = (102,97 − 100)/1,5 = 1,98
Staartoppervlakte
Φ(1,98) = 0,9761
1 − Φ(1,98) = 0,0239
p-waarde
p = 0,02385
Antwoord
p = 0,02385
p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = −2,502
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Steekproeffracties
p̂₁ = 98/150 = 0,6533
p̂₂ = 95/120 = 0,7917
p̂ = 193/270 = 0,7148
Standaardfout onder H₀
SE = √(0,7148·0,2852·(1/150 + 1/120)) = 0,0553
Toetsingsgrootheid
z = (0,6533 − 0,7917)/0,0553 = −2,502
Antwoord
z = −2,502
|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,8978
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 1316 − 25·256/5 = 36
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 13268 − 256²/5 = 160,8
Correlatiecoëfficiënt
r = 36/√(10·160,8) = 0,8978
Antwoord
r = 0,8978
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 17,05
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 101/5 = 20,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Regressielijn
b = −21/10 = −2,1
a = 20,2 − (−2,1)·3 = 26,5
ŷ = 26,5 − 2,1·x
Voorspelling
ŷ = 26,5 + (−2,1)·4,5 = 17,05
Antwoord
ŷ = 17,05
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.