Je hebt over 10 jaar €20 000 nodig. Een rekening geeft 5 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €20 0005% / 4n = 10
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je wilt over 14 jaar €25 000 hebben. Je spaart aan het eind van elke maand hetzelfde bedrag op een rekening die 7,2 % per jaar geeft, maandelijks samengesteld. Bereken de maandelijkse inleg A.
FV = €25 0007,2% / 12N = 168
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €60 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €28 000, €18 000, €17 000, €28 000. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €13 000, €8 000, €7 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −20 000CF1 = 13 000CF2 = 8 000CF3 = 7 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 9% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 9%n = 3
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 3% loopt over 7 jaar af en wordt verkocht voor €1 135. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 3%n = 7P = €1 135
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De WACC is 5,58%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4% en het belastingtarief is 21%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €32,50 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 1,3, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 6%. Bereken de WACC.
β = 1,3rf = 2%rm = 6%rd = 7%T = 30%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 55, 45, 11, 24, 40.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 25. Welk deel P van de waarden ligt onder 480?
μ = 500σ = 25x = 480
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 5 personen kiezen uit een groep van 10? De volgorde doet er niet toe.
n = 10k = 5
N =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €3 inzet. Je wint €6 met kans 0,2 en €30 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €3€6: p = 0,2€30: p = 0,02
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,8948 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,8948
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,02 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 30 items heeft gemiddelde 19,5 en standaardafwijking s = 4. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 30x̄ = 19,5s = 499%t(29) = 2,756
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 15 proefvelden, gemiddelde opbrengst 42 kg, standaardafwijking 2,5 kg. Groep 2: 7 proefvelden, gemiddelde 38 kg, standaardafwijking 3,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 47,92 en een steekproefstandaardafwijking van 8. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.
In een onderzoek herstellen 210 van de 300 patiënten met behandeling A en 234 van de 300 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 210n₁ = 300x₂ = 234n₂ = 300
z =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (9, 86) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 5(9, 86)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 12168 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·10 = 40
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,644 = €12 168,27
Antwoord
PV = €12 168,27
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 86,61 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 28 000/1,12 = 25 000,00
CF2/(1 + 0,12)2 = 18 000/1,254 = 14 349,49
CF3/(1 + 0,12)3 = 17 000/1,405 = 12 100,26
CF4/(1 + 0,12)4 = 28 000/1,574 = 17 794,51
Optellen
NPV = €9 244,26
Antwoord
NPV = €9 244,26
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 21,58 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(20%) = 439,81
NPV(25%) = −896,00
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 20 + 5·439,81/(439,81 − (−896,00)) = 21,65%
exact: NPV(21,58%) = 0 → IRR = 21,58%
Antwoord
IRR = 21,58%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 948,4 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €35,00, i = 0,045, N = 6
Contante waarde van de coupons
€35,00·(1 − 0,7679)/0,045 = €180,53
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,7679 = €767,90
Koers
P = €948,42
Antwoord
P = €948,42
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 0,994 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 135 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Los numeriek op
P(1%) = €1 134,56, P(1%) = €1 134,56
YTM = 0,994%
Antwoord
YTM = 0,994%
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 8 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,5·4%·(1 − 0,21) = 1,58%
Kosten van het eigen vermogen
re = (5,58% − 1,58%)/0,5 = 8%
Antwoord
re = 8%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,746 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 2 500 000·€32,50 = €81 250 000
D = 20 000·€1 000 = €20 000 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2% + 1,3·4% = 7,2%
Gewichten
V = €101 250 000, E/V = 0,8025, D/V = 0,1975
WACC
WACC = 0,8025·7,2% + 0,1975·7%·(1 − 0,3) = 6,746%
Antwoord
WACC = 6,746%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 17,48
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −0,8
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Antwoord
P = 0,2119
11.Kansrekening
Antwoord: N = 252
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaties
C(10, 5) = (10·9·8·7·6)/(5·4·3·2·1) = 252
Antwoord
N = 252
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = −1,2 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 3 (p = 0,2), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,78)
Verwachtingswaarde
E(G) = 3·0,2 + 27·0,02 − 3·0,78 = −1,2 €
Antwoord
E(G) = −1,2 €
Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.
13.Normale verdeling
Antwoord: z = 1,62
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = (1 + 0,8948)/2 = 0,9474
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,9474 in de tabel en lees z af.
z = 1,62
Antwoord
z = 1,62
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8665
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665
Antwoord
P = 0,8665
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 17,49
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 29, t = 2,756
Foutmarge
E = 2,756·4/√30 = 2,013
Interval
19,5 ± 2,013 → [17,49, 21,51]
Antwoord
ondergrens = 17,49
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 6,709 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (14·2,5² + 6·3,5²)/20 = 8,05
sp = 2,837
Foutmarge
E = 2,086·2,837·√(1/15 + 1/7) = 2,709
Interval
4 ± 2,709 → [1,291, 6,709]
Antwoord
bovengrens = 6,709 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −2,6
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8
Toetsingsgrootheid
t = (47,92 − 50)/0,8 = −2,6
Antwoord
t = −2,6
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = −2,234
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Steekproeffracties
p̂₁ = 210/300 = 0,7
p̂₂ = 234/300 = 0,78
p̂ = 444/600 = 0,74
Standaardfout onder H₀
SE = √(0,74·0,26·(1/300 + 1/300)) = 0,03581
Toetsingsgrootheid
z = (0,7 − 0,78)/0,03581 = −2,234
Antwoord
z = −2,234
|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,974
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 71/5 = 14,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94
Syy = Σ(y − ȳ)² = 226,8
Determinatiecoëfficiënt
r² = 94²/(40·226,8) = 0,974
Antwoord
r² = 0,974
Ongeveer 97,4% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = 4,55
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 324/5 = 64,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 222
Regressielijn
b = 222/40 = 5,55
a = 64,8 − 5,55·6 = 31,5
ŷ = 31,5 + 5,55·x
Voorspelde waarde
ŷ = 31,5 + 5,55·9 = 81,45
Residu
e = 86 − 81,45 = 4,55
Antwoord
e = 4,55
Het punt ligt boven de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.