Je belegt €5 000 tegen 3 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 8 jaar.
PV = €5 000r = 3%t = 8
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €8 000 wordt in 5 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €8 0007,2% / 12N = 60
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 6 €6 500, €8 500, €7 500, €4 000, €7 000, €7 500 op. De vermogenskosten zijn 5 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €8 000, €7 500, €8 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −20 000CF1 = 8 000CF2 = 7 500CF3 = 8 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Het effectieve rendement is 3,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 2%YTM = 3,5%n = 11
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 8% loopt over 3 jaar af en wordt verkocht voor €1 040. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 8%n = 3P = €1 040
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
E = €2 000 000D = €3 000 000re = 8%rd = 4%T = 21%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €13,50 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 21%. De bèta van het aandeel is 1,2, de risicovrije rente 2,5% en het marktrendement 7,5%. Bereken de WACC.
β = 1,2rf = 2,5%rm = 7,5%rd = 6%T = 21%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 41, 13, 52, 43, 12, 32.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 8. Welk deel P van de waarden ligt onder 166?
μ = 170σ = 8x = 166
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,3, 0,3, 0,3
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 6 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,2. Wat is de kans P op precies 4 goede antwoorden?
n = 6p = 0,2k = 4
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,9783 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,9783
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 60% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 250 gσ = 5 g60%
x = g
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 7 items heeft gemiddelde 22,5 en standaardafwijking s = 12,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 7x̄ = 22,5s = 12,599%t(6) = 3,707
bovengrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 7 proefvelden, gemiddelde opbrengst 67,5 kg, standaardafwijking 3,5 kg. Groep 2: 15 proefvelden, gemiddelde 56 kg, standaardafwijking 3,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 7 studenten, gemiddelde score 101, standaardafwijking 5. Groep 2: 7 studenten, gemiddelde score 115,1, standaardafwijking 10,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft? De standaardafwijking is 12. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 12E = 395%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (2,5, 22) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 5(2,5, 22)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 6356 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,03·8 = 0,24
e0,24 = 1,271
Eindwaarde
FV = 5 000·1,271 = €6 356,25
Antwoord
FV = €6 356,25
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 159,2 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·5 = 60
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,6984
A = 8 000·0,006/(1 − 0,6984) = €159,17
Antwoord
A = €159,17
3.NCW & IRR
Antwoord: DPB = 2,942 jaar
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 6 500/1,05 = 6 190,48 → Σ = 6 190,48
jaar 2: 8 500/1,103 = 7 709,75 → Σ = 13 900,23
jaar 3: 7 500/1,158 = 6 478,78 → Σ = 20 379,01
Fractie van het laatste jaar
DPB = 2 + 6 099,77/6 478,78 = 2,942
Antwoord
DPB = 2,942 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (2,667 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 9,598 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(5%) = 1 764,39
NPV(10%) = −142,75
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €10,00, i = 0,0175, N = 22
Contante waarde van de coupons
€10,00·(1 − 0,6827)/0,0175 = €181,30
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,6827 = €682,72
Koers
P = €864,02
Antwoord
P = €864,02
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 6,49 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 040 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Los numeriek op
P(6%) = €1 053,46, P(7%) = €1 026,24
YTM = 6,49%
Antwoord
YTM = 6,49%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,096 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·8% + 0,6·4%·(1 − 0,21) = 5,096%
Antwoord
WACC = 5,096%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,101 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −0,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Antwoord
P = 0,3085
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 0,96
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 1·0,1 + 2·0,3 + 3·0,3 + 4·0,3 = 2,8
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 1·0,1 + 4·0,3 + 9·0,3 + 16·0,3 = 8,8
Variantie
Var(X) = 8,8 − 2,8² = 0,96
Antwoord
Var(X) = 0,96
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,01536
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,9783 = 0,0217
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,0217 in de tabel en lees z af.
z = −2,02
Antwoord
z = −2,02
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 248,8 g
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,4
z uit de tabel
z ≈ −0,25
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g
Antwoord
x = 248,8 g
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 40,01
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 6, t = 3,707
Foutmarge
E = 3,707·12,5/√7 = 17,51
Interval
22,5 ± 17,51 → [4,986, 40,01]
Antwoord
bovengrens = 40,01
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 8,736 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (6·3,5² + 14·3,5²)/20 = 12,25
sp = 3,5
Foutmarge
E = 1,725·3,5·√(1/7 + 1/15) = 2,764
Interval
11,5 ± 2,764 → [8,736, 14,26]
Antwoord
ondergrens = 8,736 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −3,208
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolde variantie
sp² = (6·5² + 6·10,5²)/12 = 67,63
sp = 8,223
Standaardfout
SE = 8,223·√(1/7 + 1/7) = 4,396
Toetsingsgrootheid
t = (101 − 115,1)/4,396 = −3,208
Antwoord
t = −3,208
Bij df = 12 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,179; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 62
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,96·12/3)² = 61,47
Naar boven afronden
n = 62
Antwoord
n = 62
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9934
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 442/6 = 73,67
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 294
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1251
Correlatiecoëfficiënt
r = 294/√(70·1251) = 0,9934
Antwoord
r = 0,9934
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −2,05
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 114/5 = 22,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25
Regressielijn
b = −25/10 = −2,5
a = 22,8 − (−2,5)·3 = 30,3
ŷ = 30,3 − 2,5·x
Voorspelde waarde
ŷ = 30,3 + (−2,5)·2,5 = 24,05
Residu
e = 22 − 24,05 = −2,05
Antwoord
e = −2,05
Het punt ligt onder de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.