Je belegt €10 000 tegen 5 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 14 jaar.
PV = €10 000r = 5%t = 14
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je stort 16 jaar lang aan het begin van elk jaar €5 000, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 6 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 16 op de rekening? Bereken FV.
A = €5 000i = 6%n = 16
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €30 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €11 000, €8 000, €15 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een investering van €40 000 levert 9 jaar lang aan het eind van elk jaar €5 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €40 000CF = €5 000n = 9
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 5,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 5,5%n = 3
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 5% loopt over 3 jaar af en wordt verkocht voor €1 040. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 5%n = 3P = €1 040
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €6 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De WACC is 7,31%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3% en het belastingtarief is 25%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €45,00 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €1 020 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 0,9, de risicovrije rente 4% en het marktrendement 8,5%. Bereken de WACC.
β = 0,9rf = 4%rm = 8,5%rd = 7%T = 25,8%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 24, 27, 15, 40, 51.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 20. Bereken de z-score z van een score van 26.
μ = 50σ = 20x = 26
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,35, 0,1, 0,35
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €5 inzet. Je wint €20 met kans 0,3 en €250 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €5€20: p = 0,3€250: p = 0,02
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 76,75 en 112 punten? Geef P als decimaal getal.
μ = 100σ = 15x1 = 76,75x2 = 112
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De massa X van een product van lijn 1 en Y van lijn 2 zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 500 g en standaardafwijking 8 g, Y heeft gemiddelde 490 g en standaardafwijking 6 g. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 40 telefoons, gemiddelde 145 h, bekende standaardafwijking 18 h. Model 2: 50 telefoons, gemiddelde 151,5 h, bekende standaardafwijking 9 h. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
De standaardafwijking van de populatie is 20. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft?
Een steekproef van 36 studenten heeft een gemiddelde score van 52,8 en een steekproefstandaardafwijking van 8. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.
In een onderzoek herstellen 60 van de 300 patiënten met behandeling A en 27 van de 100 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 300x₂ = 27n₂ = 100
z =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 6
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 23,5.
n = 6x = 23,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 20138 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,05·14 = 0,7
e0,7 = 2,014
Eindwaarde
FV = 10 000·2,014 = €20 137,53
Antwoord
FV = €20 137,53
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 136064 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Gewone annuïteitsfactor
((1 + 0,06)16 − 1)/0,06 = 25,67
Prenumerando annuïteit
Elke storting staat een jaar langer uit.
FV = 5 000·25,67·1,06 = €136 064,40
Antwoord
FV = €136 064,40
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −1592 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 11 000/1,09 = 10 091,74
CF2/(1 + 0,09)2 = 8 000/1,188 = 6 733,44
CF3/(1 + 0,09)3 = 15 000/1,295 = 11 582,75
Optellen
NPV = €−1 592,06
Antwoord
NPV = €−1 592,06
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 2,423 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−9)/i = 40 000/5 000 = 8
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 2%: 8,162
i = 3%: 7,786
IRR = 2,423%
Antwoord
IRR = 2,423%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 931,7 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, i = 0,0275, N = 6
Contante waarde van de coupons
€15,00·(1 − 0,8498)/0,0275 = €81,94
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,8498 = €849,78
Koers
P = €931,72
Antwoord
P = €931,72
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 3,57 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 040 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Los numeriek op
P(3%) = €1 056,57, P(4%) = €1 027,75
YTM = 3,57%
Antwoord
YTM = 3,57%
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 8,997 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,25·3%·(1 − 0,25) = 0,5625%
Kosten van het eigen vermogen
re = (7,31% − 0,5625%)/0,75 = 8,997%
Antwoord
re = 8,997%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,29 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (26 − 50)/20 = −1,2
Antwoord
z = −1,2
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 11,58
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 15 (p = 0,3), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,68)
Verwachtingswaarde
E(G) = 15·0,3 + 245·0,02 − 5·0,68 = 6 €
Antwoord
E(G) = 6 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7276
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55
z₂ = (112 − 100)/15 = 0,8
Oppervlakte ertussen
P = Φ(0,8) − Φ(−1,55) = 0,7881 − 0,06057 = 0,7276
Antwoord
P = 0,7276
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8413
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standaardiseren
z = (0 − 10)/10 = −1
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = −1,371 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 145 − 151,5 = −6,5
Standaardfout
SE = √(18²/40 + 9²/50) = 3,118
Foutmarge
E = 1,645·3,118 = 5,129
Interval
−6,5 ± 5,129 → [−11,63, −1,371]
Antwoord
bovengrens = −1,371 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 482
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·20/1,5)² = 481,1
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 482
Antwoord
n = 482
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 2,1
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333
Toetsingsgrootheid
t = (52,8 − 50)/1,333 = 2,1
Antwoord
t = 2,1
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = −1,469
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Steekproeffracties
p̂₁ = 60/300 = 0,2
p̂₂ = 27/100 = 0,27
p̂ = 87/400 = 0,2175
Standaardfout onder H₀
SE = √(0,2175·0,7825·(1/300 + 1/100)) = 0,04764
Toetsingsgrootheid
z = (0,2 − 0,27)/0,04764 = −1,469
Antwoord
z = −1,469
|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9818
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 115/6 = 19,17
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 187
Syy = Σ(y − ȳ)² = 508,8
Determinatiecoëfficiënt
r² = 187²/(70·508,8) = 0,9818
Antwoord
r² = 0,9818
Ongeveer 98,18% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 61,83
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 371/6 = 61,83
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 541,5
Regressielijn
b = 541,5/157,5 = 3,438
a = 61,83 − 3,438·23,5 = −18,96
ŷ = −18,96 + 3,438·x
Voorspelling
ŷ = −18,96 + 3,438·23,5 = 61,83
Antwoord
ŷ = 61,83
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.