Je belegt €5 000 tegen een nominale rente van 4,8 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 4 jaar.
PV = €5 0004,8% / 4n = 4
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je wilt over 15 jaar €75 000 hebben. Je spaart aan het eind van elke maand hetzelfde bedrag op een rekening die 6 % per jaar geeft, maandelijks samengesteld. Bereken de maandelijkse inleg A.
FV = €75 0006% / 12N = 180
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €34 000, €31 000, €35 000, €35 000. De vermogenskosten zijn 5 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Project A kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €23 000, €16 000, €9 000 op. Project B kost €45 000 en levert €13 000, €19 500, €23 500 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement is 4% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 4%n = 5
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 6% loopt over 4 jaar af en wordt verkocht voor €1 055. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 4P = €1 055
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €8 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De WACC is 11,27%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 5% en het belastingtarief is 20%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €6 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 12%. Het vreemd vermogen bestaat uit 2 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 5%, resterende looptijd 10 jaar) die elk op €1 040 noteren. Het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,8859 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,8859
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 20% ervan ligt (het 20e percentiel).
μ = 32σ = 6P = 20%
x = min
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 40 telefoons, gemiddelde 98,5 h, bekende standaardafwijking 4 h. Model 2: 40 telefoons, gemiddelde 111 h, bekende standaardafwijking 7 h. Bereken de foutmarge E van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
De standaardafwijking van de populatie is 28. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 4 heeft?
20 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 1,57 en de standaardafwijking van de verschillen is 1,9. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 3 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 23. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 2,5.
n = 6x = 2,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 6051 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = r/m = 0,048/4 = 0,012
N = m·n = 4·4 = 16
Eindwaarde
FV = 5 000·(1 + 0,012)16 = 5 000·1,21 = €6 051,43
Antwoord
FV = €6 051,43
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 257,9 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 34 000/1,05 = 32 380,95
CF2/(1 + 0,05)2 = 31 000/1,103 = 28 117,91
CF3/(1 + 0,05)3 = 35 000/1,158 = 30 234,32
CF4/(1 + 0,05)4 = 35 000/1,216 = 28 794,59
Optellen
NPV = €44 527,77
Antwoord
NPV = €44 527,77
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: r* = 8,886 %
Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.
Verschil in kasstromen
ΔCF0 = −45 000 − (−40 000) = −5 000
ΔCF1 = 13 000 − 23 000 = −10 000
ΔCF2 = 19 500 − 16 000 = 3 500
ΔCF3 = 23 500 − 9 000 = 14 500
IRR van het verschil
NPVΔ(8%) = 251,99
NPVΔ(9%) = −31,77
r* = 8,886%
Antwoord
r* = 8,886%
Controle: bij 8,886% zijn beide NCW’s €1 589,61.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 955,1 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, i = 0,02, N = 10
Contante waarde van de coupons
€15,00·(1 − 0,8203)/0,02 = €134,74
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,8203 = €820,35
Koers
P = €955,09
Antwoord
P = €955,09
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 4,468 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 055 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Los numeriek op
P(4%) = €1 072,60, P(5%) = €1 035,46
YTM = 4,468%
Antwoord
YTM = 4,468%
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 14 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €11 000 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,2727·5%·(1 − 0,2) = 1,091%
Kosten van het eigen vermogen
re = (11,27% − 1,091%)/0,7273 = 14%
Antwoord
re = 14%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 9,825 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 11
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = (1 + 0,8859)/2 = 0,9429
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,9429 in de tabel en lees z af.
z = 1,58
Antwoord
z = 1,58
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 26,95 min
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Terug naar x
x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min
Antwoord
x = 26,95 min
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 2,097 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 98,5 − 111 = −12,5
Standaardfout
SE = √(4²/40 + 7²/40) = 1,275
Foutmarge
E = 1,645·1,275 = 2,097
Antwoord
E = 2,097 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 326
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·28/4)² = 325,2
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 326
Antwoord
n = 326
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 3,695
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standaardfout van het gemiddelde verschil
SE = 1,9/√20 = 0,4249
Toetsingsgrootheid
t = 1,57/0,4249 = 3,695
Antwoord
t = 3,695
Bij df = 19 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,093; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 590
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((2,326 + 0,842)·23/3)² = 589,9
Naar boven afronden
n = 590
Antwoord
n = 590
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,8918
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 346/5 = 69,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 312
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1213
Determinatiecoëfficiënt
r² = 312²/(90·1213) = 0,8918
Antwoord
r² = 0,8918
Ongeveer 89,18% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 25,63
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 143/6 = 23,83
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31,5
Regressielijn
b = −31,5/17,5 = −1,8
a = 23,83 − (−1,8)·3,5 = 30,13
ŷ = 30,13 − 1,8·x
Voorspelling
ŷ = 30,13 + (−1,8)·2,5 = 25,63
Antwoord
ŷ = 25,63
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.