Je hebt over 6 jaar €50 000 nodig. Een rekening geeft 3 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €50 0003% / 4n = 6
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €15 000 wordt in 4 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €15 0004,2% / 12N = 48
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €30 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €8 000, €12 000, €7 000, €13 000. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een investering van €50 000 levert 5 jaar lang aan het eind van elk jaar €15 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €50 000CF = €15 000n = 5
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4,5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 8 jaar af. Het effectieve rendement is 5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 4,5%YTM = 5%n = 8
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 3% loopt over 8 jaar af en wordt verkocht voor €840. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 3%n = 8P = €840
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 1,2 heeft een vereist rendement van 8,4%. De risicovrije rente is 3%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 1,2re = 8,4%rf = 3%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €5 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 14%. Het vreemd vermogen bestaat uit 2 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 5%, resterende looptijd 9 jaar) die elk op €932 noteren. Het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.
De massa's van passagiers met bagage zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 85 kg en standaardafwijking 12 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 4 ervan groter is dan 376 kg. Rond z af op twee decimalen.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4> 376 kg
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 25% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 100 puntenσ = 15 punten25%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 20 items heeft gemiddelde 90 en standaardafwijking s = 3. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 20x̄ = 90s = 395%t(19) = 2,093
E =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 10 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 1,1 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 9 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 2,7 en 2,5% boven 19,023.
Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 9 studenten, gemiddelde score 73, standaardafwijking 5. Groep 2: 12 studenten, gemiddelde score 62,3, standaardafwijking 9. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 1 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 4. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 19.
n = 5x = 19
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 41792 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·6 = 24
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,196 = €41 791,57
Antwoord
PV = €41 791,57
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 340 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·4 = 48
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,8456
A = 15 000·0,0035/(1 − 0,8456) = €340,03
Antwoord
A = €340,03
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 1328 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 8 000/1,1 = 7 272,73
CF2/(1 + 0,1)2 = 12 000/1,21 = 9 917,36
CF3/(1 + 0,1)3 = 7 000/1,331 = 5 259,20
CF4/(1 + 0,1)4 = 13 000/1,464 = 8 879,17
Optellen
NPV = €1 328,46
Antwoord
NPV = €1 328,46
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 15,24 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−5)/i = 50 000/15 000 = 3,333
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 15%: 3,352
i = 16%: 3,274
IRR = 15,24%
Antwoord
IRR = 15,24%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 967,4 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €22,50, i = 0,025, N = 16
Contante waarde van de coupons
€22,50·(1 − 0,6736)/0,025 = €293,74
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,6736 = €673,62
Koers
P = €967,36
Antwoord
P = €967,36
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 5,529 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€840 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Los numeriek op
P(5%) = €870,74, P(6%) = €813,71
YTM = 5,529%
Antwoord
YTM = 5,529%
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 7,5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (8,4% − 3%)/1,2 = 4,5%
Marktrendement
rm = 3% + 4,5% = 7,5%
Antwoord
rm = 7,5%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 11,34 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten van het vreemd vermogen (YTM)
932 = 50·(1 − (1 + y)−9)/y + 1000/(1 + y)9
y = 6%
Marktwaarden
D = 2 000·€932 = €1 864 000
V = €6 864 000, E/V = 0,7284, D/V = 0,2716
WACC
WACC = 0,7284·14% + 0,2716·6%·(1 − 0,3) = 11,34%
Antwoord
WACC = 11,34%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 13,56
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 1,25
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Antwoord
P = 0,1056
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 0,8367
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Variantie
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
σ = √0,7 = 0,8367
Antwoord
σ = 0,8367
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 43,59
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het totaal
μT = 340 kg, σT = 12·√4 = 24 kg
Standaardiseren
z = (376 − 340)/24 = 1,5
Kansrekening
P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681
Antwoord
P = 0,06681
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 110,1 punten
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,75
z uit de tabel
z ≈ 0,67
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 100 + 0,67·15 = 110,1 punten
Antwoord
x = 110,1 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 1,404
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Foutmarge
E = 2,093·3/√20 = 1,404
Antwoord
E = 1,404
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 0,7566 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 9·1,1² = 10,89
Grenzen voor σ²
10,89/19,023 = 0,5725
10,89/2,7 = 4,033
Grens voor σ
σ = √0,5725 = 0,7566 µm
Antwoord
σ = 0,7566 µm
95%-interval voor σ: [0,7566, 2,008] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 3,202
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolde variantie
sp² = (8·5² + 11·9²)/19 = 57,42
sp = 7,578
Standaardfout
SE = 7,578·√(1/9 + 1/12) = 3,341
Toetsingsgrootheid
t = (73 − 62,3)/3,341 = 3,202
Antwoord
t = 3,202
Bij df = 19 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,093; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 161
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((2,326 + 0,842)·4/1)² = 160,6
Naar boven afronden
n = 161
Antwoord
n = 161
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9971
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 387/5 = 77,4
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 483
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2607
Correlatiecoëfficiënt
r = 483/√(90·2607) = 0,9971
Antwoord
r = 0,9971
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 84,95
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 456/5 = 91,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 250
Regressielijn
b = 250/40 = 6,25
a = 91,2 − 6,25·20 = −33,8
ŷ = −33,8 + 6,25·x
Voorspelling
ŷ = −33,8 + 6,25·19 = 84,95
Antwoord
ŷ = 84,95
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.