Oefenen voor CFA Level I: kwantitatieve methoden en vastrentende waarden: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 20 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 5 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 8 jaar.

PV = €2 0005% / 12n = 8

FV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Je spaart 19 jaar lang aan het eind van elke maand €250. De rekening geeft 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.

A = €2505,4% / 12N = 228

FV = €

3.NCW & IRRGemiddeld

Een machine kost vandaag €30 000, gaat 10 jaar mee en kost €2 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.

C₀ = €30 000M = €2 000n = 10r = 10%

EAC = €

4.NCW & IRRMoeilijk

Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €5 000, €6 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 6 000

IRR = %

5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 12 jaar af. Het effectieve rendement is 5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.

F = €1 000coupon = 2%YTM = 5%n = 12

P = €

6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie met een resterende looptijd van 20 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 9%) wordt verkocht voor €1 275. De uitgever kan haar over 4 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 090. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.

F = €1 000coupon = 9%P = €1 275aflossingsprijs = €1 090vervroegd aflosbaar over 4 jaar

YTC = %

7.CAPM en WACCGemiddeld

Een aandeel met een bèta van 0,9 heeft een vereist rendement van 8,45%. De risicovrije rente is 3,5%. Welk verwacht marktrendement r_m volgt uit CAPM?

β = 0,9r_e = 8,45%r_f = 3,5%

r_m = %

8.CAPM en WACCMoeilijk

Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €27,00 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €1 020 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 20%. De bèta van het aandeel is 0,8, de risicovrije rente 1% en het marktrendement 6%. Bereken de WACC.

β = 0,8r_f = 1%r_m = 6%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

9.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 35, 58, 45, 49, 23.

n = 5

s =

10.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt onder 35?

μ = 50σ = 10x = 35

P =

11.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,15, 0,2

Var(X) =

12.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €3 inzet. Je wint €9 met kans 0,2 en €30 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €3€9: p = 0,2€30: p = 0,01

E(G) = €

13.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,5223 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,5223

z =

14.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 10% ervan ligt (het 10e percentiel).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 6 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −2,6 en standaardafwijking 6,2. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 6d̄ = −2,6s_d = 6,295%t(5) = 2,571

bovengrens = mmHg

16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 6 proefvelden, gemiddelde opbrengst 19 kg, standaardafwijking 3 kg. Groep 2: 15 proefvelden, gemiddelde 12 kg, standaardafwijking 2,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 19s₁ = 3n₂ = 15x̄₂ = 12s₂ = 2,590%t(19) = 1,729

bovengrens = kg

17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 120 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 6. Een aselecte steekproef van 144 waarnemingen heeft een gemiddelde van 120,86. Toets H₀: μ = 120 tegen H₁: μ > 120. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 120σ = 6n = 144x̄ = 120,86H₁: μ > μ₀

p =

18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 24 van de 120 patiënten met behandeling A en 16 van de 200 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 24n₁ = 120x₂ = 16n₂ = 200

z =

19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3, 1) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(3, 1)

e =

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: FV = 2981 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Rente en aantal perioden

i = r/m = 0,05/12 = 0,004167

N = m·n = 12·8 = 96

Eindwaarde

FV = 2 000·(1 + 0,004167)⁹⁶ = 2 000·1,491 = €2 981,17

Antwoord

FV = €2 981,17

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: FV = 99082 €

Maandrente en aantal stortingen

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·19 = 228

Eindwaarde van de stortingen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2,783 − 1)/0,0045 = €99 081,67

Antwoord

FV = €99 081,67

Je hebt zelf €57 000 ingelegd; de rest is rente.

3.NCW & IRR

Antwoord: EAC = 6882 €

Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.

Annuïteitsfactor

(1 − 1,1⁻¹⁰)/0,1 = 6,145

Aanschafprijs omgerekend per jaar

30 000/6,145 = 4 882,36

EAC

EAC = 4 882,36 + 2 000 = €6 882,36

Antwoord

EAC = €6 882,36

4.NCW & IRR

Antwoord: IRR = 6,394 %

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

De IRR insluiten

De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.

NPV(5%) = 204,08

NPV(10%) = −495,87

Verfijnen

Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.

IRR ≈ 5 + 5·204,08/(204,08 − (−495,87)) = 6,458%

exact: NPV(6,394%) = 0 → IRR = 6,394%

Antwoord

IRR = 6,394%

5.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 731,7 €

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Per periode

C = €10,00, i = 0,025, N = 24

Contante waarde van de coupons

€10,00·(1 − 0,5529)/0,025 = €178,85

Contante waarde van de nominale waarde

€1 000·0,5529 = €552,88

Koers

P = €731,73

Antwoord

P = €731,73

Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.

6.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: YTC = 3,623 %

Vergelijking voor het rendement

1275 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1090/(1 + y)⁴

Los numeriek op

y = 3%: €1 302,99

y = 4%: €1 258,43

YTC = 3,623%

Antwoord

YTC = 3,623%

Het effectieve rendement tot de einddatum is 6,504%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.

7.CAPM en WACC

Antwoord: r_m = 9 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Marktrisicopremie

r_m − r_f = (8,45% − 3,5%)/0,9 = 5,5%

Marktrendement

r_m = 3,5% + 5,5% = 9%

Antwoord

r_m = 9%

8.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 5,095 %

Marktwaarden

E = 4 000 000·€27,00 = €108 000 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

Kosten eigen vermogen (CAPM)

r_e = 1% + 0,8·5% = 5%

Gewichten

V = €128 400 000, E/V = 0,8411, D/V = 0,1589

WACC

WACC = 0,8411·5% + 0,1589·7%·(1 − 0,2) = 5,095%

Antwoord

WACC = 5,095%

9.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 13,45

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 210/5 = 42

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−7)² + 16² + 3² + 7² + (−19)² = 724

Standaardafwijking

s = √(724/4) = 13,45

Antwoord

s = 13,45

10.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,06681

Standaardiseren

z = −1,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Antwoord

P = 0,06681

11.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,188

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,15 + 4·0,2 = 2,25

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,15 + 16·0,2 = 6,25

Variantie

Var(X) = 6,25 − 2,25² = 1,188

Antwoord

Var(X) = 1,188

12.Kansrekening

Antwoord: E(G) = −0,9 €

Netto-uitkomsten

G: 6 (p = 0,2), 27 (p = 0,01), −3 (p = 0,79)

Verwachtingswaarde

E(G) = 6·0,2 + 27·0,01 − 3·0,79 = −0,9 €

Antwoord

E(G) = −0,9 €

Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.

13.Normale verdeling

Antwoord: z = 0,71

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,5223)/2 = 0,7611

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,7611 in de tabel en lees z af.

z = 0,71

Antwoord

z = 0,71

14.Normale verdeling

Antwoord: x = 169 cm

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Terug naar x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Antwoord

x = 169,03 cm

15.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 3,908 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 5, t = 2,571

Foutmarge

E = 2,571·6,2/√6 = 6,508

Interval

−2,6 ± 6,508 → [−9,108, 3,908]

Antwoord

bovengrens = 3,908 mmHg

16.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 9,206 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (5·3² + 14·2,5²)/19 = 6,974

s_p = 2,641

Foutmarge

E = 1,729·2,641·√(1/6 + 1/15) = 2,206

Interval

7 ± 2,206 → [4,794, 9,206]

Antwoord

bovengrens = 9,206 kg

17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,04272

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 6/√144 = 0,5

z = (120,86 − 120)/0,5 = 1,72

Staartoppervlakte

Φ(1,72) = 0,9573

1 − Φ(1,72) = 0,0427

p-waarde

p = 0,04272

Antwoord

p = 0,04272

p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.

18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 3,142

Steekproeffracties

p̂₁ = 24/120 = 0,2

p̂₂ = 16/200 = 0,08

p̂ = 40/320 = 0,125

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,125·0,875·(1/120 + 1/200)) = 0,03819

Toetsingsgrootheid

z = (0,2 − 0,08)/0,03819 = 3,142

Antwoord

z = 3,142

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

19.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9358

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 543/6 = 90,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 319

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1554

Determinatiecoëfficiënt

r² = 319²/(70·1554) = 0,9358

Antwoord

r² = 0,9358

Ongeveer 93,58% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

20.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −4,176

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 65/6 = 10,83

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 99

Regressielijn

b = 99/70 = 1,414

a = 10,83 − 1,414·7 = 0,9333

ŷ = 0,9333 + 1,414·x

Voorspelde waarde

ŷ = 0,9333 + 1,414·3 = 5,176

Residu

e = 1 − 5,176 = −4,176

Antwoord

e = −4,176

Het punt ligt onder de lijn.

Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income