Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €2 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 2,5 % per jaar. Het vereiste rendement is 4,5 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €2 000g = 2,5%r = 4,5%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €150 000 wordt in 25 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €150 0006% / 12N = 300
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €32 000, €28 000, €25 000. De vermogenskosten zijn 15 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €17 000, €11 000, €14 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 11 000CF3 = 14 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 6 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 3%) als het effectieve rendement 6% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 5,5% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 3%n = 6y0 = 6%y1 = 5,5%
HPR = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 11 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 7%) wordt verkocht voor €1 213. De uitgever kan haar over 3 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 070. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 7%P = €1 213aflossingsprijs = €1 070vervroegd aflosbaar over 3 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €12 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van de preferente aandelen 7% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 6%. Het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €51,50 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 21%. De bèta van het aandeel is 1,1, de risicovrije rente 1,5% en het marktrendement 7%. Bereken de WACC.
β = 1,1rf = 1,5%rm = 7%rd = 6%T = 21%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 45, 26, 56, 47, 15.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt onder 40?
μ = 50σ = 20x = 40
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,2, 0,2, 0,25, 0,25
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 10 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,4. Wat is de kans P op precies 2 goede antwoorden?
n = 10p = 0,4k = 2
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 4 g; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 500 g en standaardafwijking 9 g. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 754,9 g. Rond z af op twee decimalen.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 754,9 g
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De massa X van een product van lijn 1 en Y van lijn 2 zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 500 g en standaardafwijking 8 g, Y heeft gemiddelde 490 g en standaardafwijking 6 g. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 40 telefoons, gemiddelde 112,5 h, bekende standaardafwijking 4 h. Model 2: 40 telefoons, gemiddelde 111 h, bekende standaardafwijking 8 h. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Over de fractie defecte producten is vooraf niets bekend. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,025 heeft?
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 250 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 18. Een aselecte steekproef van 36 waarnemingen heeft een gemiddelde van 246,04. Toets H₀: μ = 250 tegen H₁: μ < 250. Bereken de p-waarde p.
Een steekproef van 64 metingen heeft gemiddelde 200,8. De standaardafwijking van de populatie is 8. Bereken de ondergrens L van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 200,8σ = 8n = 6490%
L =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 10?
n = 5ŷ = 10
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 100000 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·25 = 300
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,224
A = 150 000·0,005/(1 − 0,224) = €966,45
Antwoord
A = €966,45
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −9564 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 32 000/1,15 = 27 826,09
CF2/(1 + 0,15)2 = 28 000/1,322 = 21 172,02
CF3/(1 + 0,15)3 = 25 000/1,521 = 16 437,91
Optellen
NPV = €−9 563,98
Antwoord
NPV = €−9 563,98
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 33,5 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(30%) = 1 185,71
NPV(35%) = −478,33
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1213 = 70·(1 − (1 + y)−3)/y + 1070/(1 + y)3
Los numeriek op
y = 1%: €1 244,40
y = 2%: €1 210,16
YTC = 1,915%
Antwoord
YTC = 1,915%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 4,502%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 10,71 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −0,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Antwoord
P = 0,3085
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 1,727
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binomiale formule
P(X = 2) = 45·0,42·0,68 = 45·0,16·0,0168 = 0,1209
Antwoord
P = 0,1209
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,3085
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standaardiseren
z = (754,9 − 750)/9,849 = 0,5
Rechterstaart
P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085
Antwoord
P = 0,3085
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8413
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standaardiseren
z = (0 − 10)/10 = −1
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −0,8264 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 112,5 − 111 = 1,5
Standaardfout
SE = √(4²/40 + 8²/40) = 1,414
Foutmarge
E = 1,645·1,414 = 2,326
Interval
1,5 ± 2,326 → [−0,8264, 3,826]
Antwoord
ondergrens = −0,8264 h
Het interval bevat 0, dus de data laten geen significant verschil zien.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 2655
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n oplossen
n = 2,576²·0,5·0,5/0,025² = 2654
Naar boven afronden
n = 2655
Antwoord
n = 2655
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,09342
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 18/√36 = 3
z = (246,04 − 250)/3 = −1,32
Staartoppervlakte
Φ(1,32) = 0,9066
1 − Φ(1,32) = 0,0934
p-waarde
p = 0,09342
Antwoord
p = 0,09342
p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: L = 199,2
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,645·8/√64 = 1,645
Intervalgrens
L = 200,8 − 1,645 = 199,2
Antwoord
L = 199,2
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9748
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 3102 − 35·410/5 = 232
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 35036 − 410²/5 = 1416
Correlatiecoëfficiënt
r = 232/√(40·1416) = 0,9748
Antwoord
r = 0,9748
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 3,037
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 90/5 = 18
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108
Regressielijn
b = 108/40 = 2,7
a = 18 − 2,7·6 = 1,8
ŷ = 1,8 + 2,7·x
Los op naar x
x = (10 − 1,8)/2,7 = 3,037
Antwoord
x = 3,037
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.