Je hebt over 7 jaar €50 000 nodig. Een rekening geeft 5 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €50 0005% / 4n = 7
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €250 000 wordt in 20 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 8? Bereken de restschuld B.
P = €250 0004,2% / 12N = 240k = 96
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €10 000, €8 000, €6 000, €6 000. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €17 500, €18 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 17 500CF2 = 18 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement is 6% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 5%YTM = 6%n = 4
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 7% loopt over 4 jaar af en wordt verkocht voor €965. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 7%n = 4P = €965
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 1,2 heeft een vereist rendement van 11,2%. De risicovrije rente is 4%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 1,2re = 11,2%rf = 4%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €45,50 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 20%. De bèta van het aandeel is 1,1, de risicovrije rente 4% en het marktrendement 8,5%. Bereken de WACC.
β = 1,1rf = 4%rm = 8,5%rd = 6%T = 20%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 14, 55, 13, 60, 29, 49.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 20. Bereken de z-score z van een score van 68.
μ = 60σ = 20x = 68
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 2 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 2
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €1 inzet. Je wint €2 met kans 0,1 en €10 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €1€2: p = 0,1€10: p = 0,02
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,7415 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,7415
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 90% ervan ligt (het 90e percentiel).
μ = 32σ = 6P = 90%
x = min
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 16 items heeft gemiddelde 114 en standaardafwijking s = 18. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 16x̄ = 114s = 1895%t(15) = 2,131
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 15. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft?
Een steekproef van 25 studenten heeft een gemiddelde score van 73,2 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 75.
Een steekproef van 81 metingen heeft gemiddelde 124,3. De standaardafwijking van de populatie is 15. Bereken de bovengrens U van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 124,3σ = 15n = 8199%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 85?
n = 6ŷ = 85
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 35311 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·7 = 28
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,416 = €35 310,93
Antwoord
PV = €35 310,93
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: B = 174119 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 240 − 96 = 144
B = 1541·(1 − (1 + 0,0035)−144)/0,0035 = €174 119,05
Antwoord
B = €174 119,05
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 5291 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 10 000/1,08 = 9 259,26
CF2/(1 + 0,08)2 = 8 000/1,166 = 6 858,71
CF3/(1 + 0,08)3 = 6 000/1,26 = 4 762,99
CF4/(1 + 0,08)4 = 6 000/1,36 = 4 410,18
Optellen
NPV = €5 291,14
Antwoord
NPV = €5 291,14
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 27,87 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(25%) = 840,00
NPV(30%) = −591,72
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 25 + 5·840,00/(840,00 − (−591,72)) = 27,93%
exact: NPV(27,87%) = 0 → IRR = 27,87%
Antwoord
IRR = 27,87%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 964,9 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €25,00, i = 0,03, N = 8
Contante waarde van de coupons
€25,00·(1 − 0,7894)/0,03 = €175,49
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,7894 = €789,41
Koers
P = €964,90
Antwoord
P = €964,90
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 8,058 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€965 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Los numeriek op
P(8%) = €966,88, P(9%) = €935,21
YTM = 8,058%
Antwoord
YTM = 8,058%
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 10 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (11,2% − 4%)/1,2 = 6%
Marktrendement
rm = 4% + 6% = 10%
Antwoord
rm = 10%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,202 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (68 − 60)/20 = 0,4
Antwoord
z = 0,4
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,3056
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Antwoord
P = 0,3056
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = −0,6 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 1 (p = 0,1), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,88)
Verwachtingswaarde
E(G) = 1·0,1 + 9·0,02 − 1·0,88 = −0,6 €
Antwoord
E(G) = −0,6 €
Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.
13.Normale verdeling
Antwoord: z = 1,13
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = (1 + 0,7415)/2 = 0,8708
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,8708 in de tabel en lees z af.
z = 1,13
Antwoord
z = 1,13
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 39,69 min
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Terug naar x
x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min
Antwoord
x = 39,69 min
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 104,4
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 15, t = 2,131
Foutmarge
E = 2,131·18/√16 = 9,589
Interval
114 ± 9,589 → [104,4, 123,6]
Antwoord
ondergrens = 104,4
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 374
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·15/2)² = 373,3
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 374
Antwoord
n = 374
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −1,8
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 5/√25 = 5/5 = 1
Toetsingsgrootheid
t = (73,2 − 75)/1 = −1,8
Antwoord
t = −1,8
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 128,6
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 2,576·15/√81 = 4,293
Intervalgrens
U = 124,3 + 4,293 = 128,6
Antwoord
U = 128,6
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9462
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 305/6 = 50,83
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 67,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 290,8
Correlatiecoëfficiënt
r = 67,5/√(17,5·290,8) = 0,9462
Antwoord
r = 0,9462
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 17,92
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 670/6 = 111,7
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 458
Regressielijn
b = 458/70 = 6,543
a = 111,7 − 6,543·22 = −32,28
ŷ = −32,28 + 6,543·x
Los op naar x
x = (85 − (−32,28))/6,543 = 17,92
Antwoord
x = 17,92
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.