Je belegt €5 000 tegen 4 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 8 jaar.
PV = €5 000r = 4%t = 8
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €10 000 tegen 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €200 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €10 000A = €2005,4% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €100 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €8 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 3 % per jaar. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €100 000CF1 = €8 000g = 3%r = 10%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een investering van €80 000 levert 6 jaar lang aan het eind van elk jaar €18 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €80 000CF = €18 000n = 6
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 3 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 6%) als het effectieve rendement 3% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 2% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 3y0 = 3%y1 = 2%
HPR = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 10 jaar af en wordt verkocht voor €855. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 10P = €855
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €8 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 13%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €49,50 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €1 050 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 1,2, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 8,5%. Bereken de WACC.
β = 1,2rf = 2%rm = 8,5%rd = 6%T = 30%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 31, 20, 58, 27, 33.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt onder 85?
μ = 70σ = 10x = 85
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,15, 0,2
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €1 inzet. Je wint €3 met kans 0,15 en €20 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €1€3: p = 0,15€20: p = 0,02
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 60 s en standaardafwijking 5 s; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 45 s en standaardafwijking 4 s. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 101,8 s. Rond z af op twee decimalen.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 101,8 s
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 80% ervan ligt (het 80e percentiel).
μ = 65σ = 10P = 80%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 20 items heeft gemiddelde 30,5 en standaardafwijking s = 1,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 20x̄ = 30,5s = 1,590%t(19) = 1,729
bovengrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 32. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft?
Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 21 studenten, gemiddelde score 113, standaardafwijking 7. Groep 2: 10 studenten, gemiddelde score 104,8, standaardafwijking 6. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 15. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 52?
n = 5ŷ = 52
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 6886 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,04·8 = 0,32
e0,32 = 1,377
Eindwaarde
FV = 5 000·1,377 = €6 885,64
Antwoord
FV = €6 885,64
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: N = 57 betalingen
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,0045
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,0045/200 = 0,775
Los op met logaritmen
N = −ln(0,775)/ln(1,004) = 56,77
Rond naar boven af op hele betalingen
56 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 57
Antwoord
N = 57 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 14286 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 8 000/(0,1 − 0,03) = 114 285,71
NPV
NPV = 114 285,71 − 100 000 = €14 285,71
Antwoord
NPV = €14 285,71
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 9,312 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−6)/i = 80 000/18 000 = 4,444
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 9%: 4,486
i = 10%: 4,355
IRR = 9,312%
Antwoord
IRR = 9,312%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: HPR = 4,867 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€855 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Los numeriek op
P(5%) = €922,78, P(6%) = €852,80
YTM = 5,967%
Antwoord
YTM = 5,967%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 10,67 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 5 000 000·€49,50 = €247 500 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2% + 1,2·6,5% = 9,8%
Gewichten
V = €289 500 000, E/V = 0,8549, D/V = 0,1451
WACC
WACC = 0,8549·9,8% + 0,1451·6%·(1 − 0,3) = 8,988%
Antwoord
WACC = 8,988%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 14,41
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,09
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,15 + 4·0,2 = 2,25
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,15 + 16·0,2 = 6,25
Variantie
Var(X) = 6,25 − 2,25² = 1,188
σ = √1,188 = 1,09
Antwoord
σ = 1,09
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = −0,15 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 2 (p = 0,15), 19 (p = 0,02), −1 (p = 0,83)
Verwachtingswaarde
E(G) = 2·0,15 + 19·0,02 − 1·0,83 = −0,15 €
Antwoord
E(G) = −0,15 €
Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,6915
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standaardiseren
z = (101,8 − 105)/6,403 = −0,5
Rechterstaart
P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915
Antwoord
P = 0,6915
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 73,42 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Terug naar x
x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 punten
Antwoord
x = 73,42 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 31,08
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Foutmarge
E = 1,729·1,5/√20 = 0,5799
Interval
30,5 ± 0,5799 → [29,92, 31,08]
Antwoord
bovengrens = 31,08
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 1749
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,96·32/1,5)² = 1748
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 1749
Antwoord
n = 1749
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 3,183
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolde variantie
sp² = (20·7² + 9·6²)/29 = 44,97
sp = 6,706
Standaardfout
SE = 6,706·√(1/21 + 1/10) = 2,576
Toetsingsgrootheid
t = (113 − 104,8)/2,576 = 3,183
Antwoord
t = 3,183
Bij df = 29 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,045; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 56
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((1,645 + 0,842)·15/5)² = 55,67
Naar boven afronden
n = 56
Antwoord
n = 56
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9962
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 93/5 = 18,6
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92
Syy = Σ(y − ȳ)² = 213,2
Correlatiecoëfficiënt
r = 92/√(40·213,2) = 0,9962
Antwoord
r = 0,9962
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 8,13
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 224/5 = 44,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92
Regressielijn
b = 92/40 = 2,3
a = 44,8 − 2,3·5 = 33,3
ŷ = 33,3 + 2,3·x
Los op naar x
x = (52 − 33,3)/2,3 = 8,13
Antwoord
x = 8,13
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.