Je belegt €20 000 tegen 2 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 13 jaar.
PV = €20 000r = 2%t = 13
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €10 000 wordt in 5 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
P = €10 0006% / 12N = 60
I = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €30 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €15 000, €11 000, €6 000, €13 000. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €16 000, €15 500, €18 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 16 000CF2 = 15 500CF3 = 18 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 11 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 083 als het effectieve rendement 5% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 11P = €1 083YTM = 5%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 19 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 5%) wordt verkocht voor €1 374. De uitgever kan haar over 3 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 050. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 5%P = €1 374aflossingsprijs = €1 050vervroegd aflosbaar over 3 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €10 000 000, preferente aandelen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van de preferente aandelen 8% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3%. Het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €10,50 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 28%. De bèta van het aandeel is 1,8, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 6,5%. Bereken de WACC.
β = 1,8rf = 2%rm = 6,5%rd = 3%T = 28%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 37, 49, 43, 37, 59, 21.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt onder 65?
μ = 50σ = 15x = 65
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,05, 0,1, 0,35
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 6 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,2. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 6p = 0,2
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,9878 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,9878
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 25% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 250 gσ = 5 g25%
x = g
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 40 telefoons, gemiddelde 123 h, bekende standaardafwijking 8 h. Model 2: 30 telefoons, gemiddelde 121,5 h, bekende standaardafwijking 19 h. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
De standaardafwijking van de populatie is 27. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft?
Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 201,7 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 95 %. De standaardafwijking is 26. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5Σx = 15Σy = 80Σx² = 55Σy² = 1352Σxy = 214
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 11.
n = 6x = 11
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 25939 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,02·13 = 0,26
e0,26 = 1,297
Eindwaarde
FV = 20 000·1,297 = €25 938,60
Antwoord
FV = €25 938,60
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: I = 1600 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandbedrag
i = 0,005, N = 60
A = 10 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)−60) = €193,33
Totale rente
I = N·A − P = 60·193,3 − 10 000 = €1 599,68
Antwoord
I = €1 599,68
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 6114 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 15 000/1,1 = 13 636,36
CF2/(1 + 0,1)2 = 11 000/1,21 = 9 090,91
CF3/(1 + 0,1)3 = 6 000/1,331 = 4 507,89
CF4/(1 + 0,1)4 = 13 000/1,464 = 8 879,17
Optellen
NPV = €6 114,34
Antwoord
NPV = €6 114,34
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 42,76 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(40%) = 896,50
NPV(45%) = −689,04
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 40 + 5·896,50/(896,50 − (−689,04)) = 42,83%
exact: NPV(42,76%) = 0 → IRR = 42,76%
Antwoord
IRR = 42,76%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 5,999 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,05)−11 = €584,68
Coupon
C = (1083 − 584,68)/8,306 = €59,99
Couponrente
c = 59,99/1000 = 5,999%
Antwoord
c = 5,999%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTC = 50 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1374 = 50·(1 − (1 + y)−3)/y + 1050/(1 + y)3
Los numeriek op
y = 50%: €381,48
y = 50%: €381,48
YTC = 50%
Antwoord
YTC = 50%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 2,503%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,186 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 1
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 2,9
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,86 = 0,2621
P(X = 1) = 6·0,2·0,85 = 0,3932
Tel ze op
P = 0,2621 + 0,3932 = 0,6554
Antwoord
P = 0,6554
13.Normale verdeling
Antwoord: z = −2,25
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,9878 = 0,0122
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,0122 in de tabel en lees z af.
z = −2,25
Antwoord
z = −2,25
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 246,7 g
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,25
z uit de tabel
z ≈ −0,67
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g
Antwoord
x = 246,7 g
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 8,737 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 123 − 121,5 = 1,5
Standaardfout
SE = √(8²/40 + 19²/30) = 3,692
Foutmarge
E = 1,96·3,692 = 7,237
Interval
1,5 ± 7,237 → [−5,737, 8,737]
Antwoord
bovengrens = 8,737 h
Het interval bevat 0, dus de data laten geen significant verschil zien.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 877
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·27/1,5)² = 876,8
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 877
Antwoord
n = 877
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 1,7
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 10/√100 = 10/10 = 1
Toetsingsgrootheid
t = (201,7 − 200)/1 = 1,7
Antwoord
t = 1,7
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 427
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((2,326 + 1,645)·26/5)² = 426,4
Naar boven afronden
n = 427
Antwoord
n = 427
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,969
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 214 − 15·80/5 = −26
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1352 − 80²/5 = 72
Correlatiecoëfficiënt
r = −26/√(10·72) = −0,969
Antwoord
r = −0,969
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 37,68
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 151/6 = 25,17
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 219
Regressielijn
b = 219/70 = 3,129
a = 25,17 − 3,129·7 = 3,267
ŷ = 3,267 + 3,129·x
Voorspelling
ŷ = 3,267 + 3,129·11 = 37,68
Antwoord
ŷ = 37,68
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.