Je hebt over 5 jaar €15 000 nodig. Een rekening geeft 5 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €15 0005% / 12n = 5
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je wilt over 6 jaar €100 000 hebben. Je spaart aan het eind van elke maand hetzelfde bedrag op een rekening die 5,4 % per jaar geeft, maandelijks samengesteld. Bereken de maandelijkse inleg A.
FV = €100 0005,4% / 12N = 72
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €40 000 en levert 5 jaar lang aan het eind van elk jaar €13 000 op. De vermogenskosten zijn 12 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €14 000, €19 000, €12 500 op. Kasstromen kunnen worden herbelegd tegen de vermogenskosten van 12 %. Bereken de gemodificeerde interne rentabiliteit MIRR in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 12 jaar af. Het effectieve rendement is 4% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 5%YTM = 4%n = 12
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 6% loopt over 3 jaar af en wordt verkocht voor €1 055. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 3P = €1 055
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €4 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €37,00 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 0,8, de risicovrije rente 1,5% en het marktrendement 6,5%. Bereken de WACC.
β = 0,8rf = 1,5%rm = 6,5%rd = 4%T = 30%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 14, 60, 57, 14, 44.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 8. Welk deel P van de waarden ligt onder 63,6?
μ = 70σ = 8x = 63,6
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 7 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 7
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 9 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,7. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?
n = 9p = 0,7k = 3
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 60 s en standaardafwijking 5 s; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 45 s en standaardafwijking 4 s. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 98,6 s. Rond z af op twee decimalen.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 98,6 s
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,05 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 50 telefoons, gemiddelde 142,5 h, bekende standaardafwijking 12 h. Model 2: 30 telefoons, gemiddelde 136,5 h, bekende standaardafwijking 12 h. Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
De standaardafwijking van de populatie is 28. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?
Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 30 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 83,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 7 mm. Lijn 2: een steekproef van 40 onderdelen heeft gemiddelde 88,3 mm, bekende standaardafwijking 15 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2,5 heeft? De standaardafwijking is 4. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 4E = 2,595%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 92?
n = 6ŷ = 92
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 11688 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·5 = 60
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,283 = €11 688,08
Antwoord
PV = €11 688,08
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 1179 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 13 000/1,12 = 11 607,14 → Σ = 11 607,14
jaar 2: 13 000/1,254 = 10 363,52 → Σ = 21 970,66
jaar 3: 13 000/1,405 = 9 253,14 → Σ = 31 223,81
jaar 4: 13 000/1,574 = 8 261,74 → Σ = 39 485,54
jaar 5: 13 000/1,762 = 7 376,55 → Σ = 46 862,09
Fractie van het laatste jaar
DPB = 4 + 514,46/7 376,55 = 4,07
Antwoord
DPB = 4,07 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (3,077 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: MIRR = 8,677 %
Gemodificeerde IRR: rent elke inkomende kasstroom op tot het eind van het project tegen het herbeleggingspercentage (meestal de vermogenskosten) om de eindwaarde TV te krijgen. De MIRR is de rente die de initiële investering laat groeien tot TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Eindwaarde van de inkomende kasstromen
14 000·1,122 = 17 561,60
19 000·1,121 = 21 280,00
12 500·1,120 = 12 500,00
TV = 51 341,60
MIRR
MIRR = (51 341,60/40 000)1/3 − 1 = 8,677%
Antwoord
MIRR = 8,677%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1095 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €25,00, i = 0,02, N = 24
Contante waarde van de coupons
€25,00·(1 − 0,6217)/0,02 = €472,85
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,6217 = €621,72
Koers
P = €1 094,57
Antwoord
P = €1 094,57
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 4,017 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 055 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Los numeriek op
P(4%) = €1 055,50, P(5%) = €1 027,23
YTM = 4,017%
Antwoord
YTM = 4,017%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,933 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 5 000 000·€37,00 = €185 000 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 1,5% + 0,8·5% = 5,5%
Gewichten
V = €204 200 000, E/V = 0,906, D/V = 0,09403
WACC
WACC = 0,906·5,5% + 0,09403·4%·(1 − 0,3) = 5,246%
Antwoord
WACC = 5,246%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 22,54
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −0,8
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Antwoord
P = 0,2119
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,7209
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Antwoord
P = 0,7209
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,021
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standaardiseren
z = (98,6 − 105)/6,403 = −1
Rechterstaart
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,9616
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616
Antwoord
P = 0,9616
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 7,139 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 142,5 − 136,5 = 6
Standaardfout
SE = √(12²/50 + 12²/30) = 2,771
Foutmarge
E = 2,576·2,771 = 7,139
Antwoord
E = 7,139 h
Het interval bevat 0, dus de data laten geen significant verschil zien.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 3012
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,96·28/1)² = 3012
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 3012
Antwoord
n = 3012
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = −1,782
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standaardfout van het verschil
SE = √(7²/30 + 15²/40) = √7,258 = 2,694
Toetsingsgrootheid
z = (83,5 − 88,3)/2,694 = −1,782
Antwoord
z = −1,782
|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 10
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,96·4/2,5)² = 9,834
Naar boven afronden
n = 10
Antwoord
n = 10
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,8704
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 118/5 = 23,6
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −10
Syy = Σ(y − ȳ)² = 13,2
Correlatiecoëfficiënt
r = −10/√(10·13,2) = −0,8704
Antwoord
r = −0,8704
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 25,49
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 480/6 = 80
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 633
Regressielijn
b = 633/157,5 = 4,019
a = 80 − 4,019·22,5 = −10,43
ŷ = −10,43 + 4,019·x
Los op naar x
x = (92 − (−10,43))/4,019 = 25,49
Antwoord
x = 25,49
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.