Een annuïteit betaalt 16 jaar lang aan het eind van elk jaar €500. De rente is 3 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.
A = €500i = 3%n = 16
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €250 000 wordt in 20 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €250 0004,8% / 12N = 240
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €18 000, €20 000, €31 000, €16 000. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €29 000, €16 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −40 000CF1 = 29 000CF2 = 16 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement is 3,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 3,5%n = 4
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 7% loopt over 6 jaar af en wordt verkocht voor €890. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 7%n = 6P = €890
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €4 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €8,50 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €1 020 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 21%. De bèta van het aandeel is 1,1, de risicovrije rente 3% en het marktrendement 9,5%. Bereken de WACC.
β = 1,1rf = 3%rm = 9,5%rd = 6%T = 21%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 20, 36, 34, 48, 30, 15.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 100. Welk deel P van de waarden ligt onder 420?
μ = 500σ = 100x = 420
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,05, 0,3, 0,35, 0,3
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 6 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,4. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 6p = 0,4
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De massa's van passagiers met bagage zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 85 kg en standaardafwijking 12 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 12 ervan groter is dan 957,6 kg. Rond z af op twee decimalen.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 957,6 kg
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De massa X van een product van lijn 1 en Y van lijn 2 zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 500 g en standaardafwijking 8 g, Y heeft gemiddelde 490 g en standaardafwijking 6 g. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 30 telefoons, gemiddelde 57,5 h, bekende standaardafwijking 4 h. Model 2: 40 telefoons, gemiddelde 45 h, bekende standaardafwijking 12 h. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
De standaardafwijking van de populatie is 5. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft?
Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 123,2 en een steekproefstandaardafwijking van 15. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.
Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 100 tegen H₁: μ > 100 wordt uitgevoerd bij α = 0,05 met een steekproef van 36; de standaardafwijking is bekend en is 15. In werkelijkheid is het gemiddelde 103,5. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.
μ₀ = 100μ = 103,5σ = 15n = 36α = 0,05
1 − β = %
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5Σx = 30Σy = 86Σx² = 220Σy² = 1686Σxy = 606
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 7,5.
n = 6x = 7,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 6281 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6232)/0,03 = 12,56
Contante waarde
PV = 500·12,56 = €6 280,55
Antwoord
PV = €6 280,55
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 1622 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·20 = 240
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,3836
A = 250 000·0,004/(1 − 0,3836) = €1 622,39
Antwoord
A = €1 622,39
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −1517 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 18 000/1,06 = 16 981,13
CF2/(1 + 0,06)2 = 20 000/1,124 = 17 799,93
CF3/(1 + 0,06)3 = 31 000/1,191 = 26 028,20
CF4/(1 + 0,06)4 = 16 000/1,262 = 12 673,50
Optellen
NPV = €−1 517,24
Antwoord
NPV = €−1 517,24
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 9,148 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(5%) = 2 131,52
NPV(10%) = −413,22
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €30,00, i = 0,0175, N = 8
Contante waarde van de coupons
€30,00·(1 − 0,8704)/0,0175 = €222,15
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,8704 = €870,41
Koers
P = €1 092,56
Antwoord
P = €1 092,56
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 9,488 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€890 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Los numeriek op
P(9%) = €910,28, P(10%) = €869,34
YTM = 9,488%
Antwoord
YTM = 9,488%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,979 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·11% + 0,4286·5%·(1 − 0,21) = 7,979%
Antwoord
WACC = 7,979%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,673 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −0,8
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Antwoord
P = 0,2119
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,778
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,05 + 2·0,3 + 4·0,35 + 6·0,3 = 3,8
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,05 + 4·0,3 + 16·0,35 + 36·0,3 = 17,6
Variantie
Var(X) = 17,6 − 3,8² = 3,16
σ = √3,16 = 1,778
Antwoord
σ = 1,778
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,2333
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,66 = 0,04666
P(X = 1) = 6·0,4·0,65 = 0,1866
Tel ze op
P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333
Antwoord
P = 0,2333
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,9332
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het totaal
μT = 1020 kg, σT = 12·√12 = 41,57 kg
Standaardiseren
z = (957,6 − 1020)/41,57 = −1,5
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8413
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standaardiseren
z = (0 − 10)/10 = −1
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 7,263 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 57,5 − 45 = 12,5
Standaardfout
SE = √(4²/30 + 12²/40) = 2,033
Foutmarge
E = 2,576·2,033 = 5,237
Interval
12,5 ± 5,237 → [7,263, 17,74]
Antwoord
ondergrens = 7,263 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 74
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·5/1,5)² = 73,73
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 74
Antwoord
n = 74
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 1,707
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875
Toetsingsgrootheid
t = (123,2 − 120)/1,875 = 1,707
Antwoord
t = 1,707
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: 1 − β = 40,32 %
Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritiek steekproefgemiddelde
SE = 15/√36 = 2,5
x̄c = 100 + 1,645·2,5 = 104,1
z onder het ware gemiddelde
z = (104,1 − 103,5)/2,5 = 0,245
Vermogen
onderscheidend vermogen = P(Z > 0,245) = 40,32%
1 − β = 40,32%
Antwoord
1 − β = 40,32%
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9895
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 606 − 30·86/5 = 90
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1686 − 86²/5 = 206,8
Correlatiecoëfficiënt
r = 90/√(40·206,8) = 0,9895
Antwoord
r = 0,9895
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 99,63
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 509/6 = 84,83
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 129,5
Regressielijn
b = 129,5/17,5 = 7,4
a = 84,83 − 7,4·5,5 = 44,13
ŷ = 44,13 + 7,4·x
Voorspelling
ŷ = 44,13 + 7,4·7,5 = 99,63
Antwoord
ŷ = 99,63
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.